Същност и елементи на комуникационния микс. Маркетингови комуникации

Целите на рекламно-промоционните дейности на туристическите продукти са насочени изцяло към потребителите и могат да бъдат следните:
• Да се насърчи или постигне изпробване на продукта;
• Да се насърчи повторна покупка;
• Да се създаде ентусиазъм и готовност за устна препоръка на продукта от страна на потребителя;
• Да се възнаградят лоялните потребители като се компенсират част от техните разходи.
• Да се задържат продажбите на определено ниво в слаб период.

Ако погледнем назад в миналото ще ни бъде трудно да определим кое е било първото рекламно-насърчително действие в индустрията за гостоприемство. През 80-те години промоциите се превръщат в един от мощните маркетингови инструменти. През този период се осъществяват безброй промоции, чието единствено ограничение е човешката фантазия. Продуктовите промоции могат да бъдат класифицирани по различни начини. Общото им качество, е че всички промоции са планирани, за да изпълнят определени маркетингови цели. Независимо от стратегията на комуникационния микс, както и от инструментите, които се използват за осъществяването му, целта е да се подкрепят общите маркетингови усилия на фирмата по отношение на даден продукт. Промоционалният микс на продукта, включително ни на туристическия продукт, може да бъде определен като творческа и оригинална идея, осъществена чрез комплекс от различни средства, чиято основна цел е насърчаване на продажбите и подкрепяне на общите маркетингови усилия на туристическата фирма. Съществуват няколко различни средства /инструмента, чрез които може да бъде реализиран комуникационният микс на туристическия продукт, всеки от които има своите предимства и недостатъци. Изборът на метод или методи е изцяло в ръцете на маркетолога или маркетинговия отдел. Инструментариумът на класическия маркетинг в областта на комуникациите включва 4 основни средства – реклама, връзки с обществеността, промоции или насърчаване на продажбите и лични продажби. Много рядко само един елемент от посочените може да постигне целите на фирмата в областта на комуникацията. Обикновено стратегията на туристическите фирми включва комбинация от два или елемента. Точно тази комбинация е известна като комуникационен микс. През последните години се наложиха още два инструмента към класическия комуникационен микс – директния маркетинг и интернет маркетинга. Всъщност маркетингът по интернет е качествено различен феномен от другите елементи, защото той не е просто комуникационно средство. При него имаме сливане на процеса на реклма, насърчаване на продажбите, директен маркетинг, а много често и продажба.

11.2. Ефективност на комуникационния микс

Нека разгледаме ефективността на комуникационния микс в различните етапи от момента на научаване за продукта до момента на покупката. Рекламата според преобладаващата част от потребителските проучвания, както и според редица наблюдения, направени от различни фирми и агенции се оказва най-ефективна в първите два етапа: научаване за продукта и опознаване на продукт. Въпреки, че рекламана има въздействие и е полезна и на следващите етапи до момента на покупката, все пак тя е най-полезна в началото на процеса. Обратно на нея личните продажби достигат до много малко хора, но в замяна на това са най-ефективни при убеждаването на клиента да закупи продукта. Добре подготвената и проведена програма за промоции може да постигне добро познаване на продукта/услугата, както и да формира желание за покупка, особено на местата за проджба. Програмите за лоялност са също така много ефикасно средство за стимулиране на продажбите, както и лотариите, в които участват клиенти са ефективни инструменти за постигане на фирмените цели. Връзките с обществеността са успешно приложими, когато трябва да се формира известно познаване на фирмата или продукта. Много компании формират положителните си отношения с аудиторията и оттук с потенциалните си клиенти чрез спонсориране на мероприятия и програми с обществено значение. Връзките с обществеността имат чисто комерсиална насоченост и все пак тяхната косвена задача е чрез изграждане на положителен имидж за фирмата да се достигне и до положителни финансови резултати в по-дългосрочен план.

11.3 Основни задачи на комуникационния микс

Промоциите в широк смисъл могат да изпълняват минимум три основни задачи: да информира, да подтиква към действие и да напомня.
Информиращата реклама е преобладаваща през ранните етапи на жизнения цикъл на продукта. Тя е важен фактор за увеличаване на търсенето на основния продукт или услуга на фирмата или при лансирането на нови стоки на пазара. Обикновено хората не биха купили стока или услуга или не биха подкрепили обществена организация , докато не научат нейните основни задачи, мисия и какво удовлетворение би им донесло това. Ето защо информиращата рещлама може да превърне съществуваща нужда в желание или да стимулира силно интерес към нов продукт. Информиращата реклама повишава познаването на нов продукт, родова или индивидуална марка, информира пазара за нови качества предимства на продукта, предлага идеи за нови начини на използване на продукта, намалява съмненията и резервите на потребителите, съобщава на пазара за промяна в цените, коригира грешни първоначални впечатления, описва наличните възможности за сервизно обслужване, обяснява как се потребява /консумира/ продукта, формира положителна нагласа у потребителя, игражда или коригира фирмения имидж. Този тип рекламни съобщения са важни, не само за новите продукти, но и за нови марки към даден клас продукти.
Подтикващата реклама спомага за: изграждане на устойчиво предпочитание към марката, стимулиране към промяна на марката, промяна на възприятията на потребителя относно качествата на продукта, влияе върху потребителя да купи веднага, убеждава клиента да приеме телефонно обаждане за продажба, поддържа знанията на клиента за продукта . Този тип съобщения се разработват и подготвят от фирмата, за да стимулират покупките или да се предприемат по-бързи действия – по-голяма консумация в рамките на определен период. Подтикващата реклама става основна задача на фирмата, когато продуктът навлезе в етапа растеж от жизнения цикъл. В тази фаза целевият пазар вече е запознат с основните характеристики и предназнчение на продукта, следователно информиращата функция трябва вече да подтиква към изпълнение. Ето защо целта на туристическите фирми използващи този тип послания е да съобщи, че предлаганят от тях продукт по-добре може да удовлетвори потребностите на пазара, и клиентите единствено ще спечелят, ако го закупят.
Напомнящите реклами от своя страна спомагат за напомняне на клиента, за това, че в скоро време може да има нужда от определен продукт, да напомни на потребителя къде може да купи продукта, за поддържане/присъствие на продукта в съзнанието на потребителите. Напомняща реклама се използва, за да припомни и ангажира съзнанието на потребителите с даден продукт и търговска марка. Този вид съобщения се използват във фазата зрялост от жизнения цикъл на продукта. Маркетинговият отдел на дадена фирма, разчита на факта че подтикващана реклама си е свършила работата и е убедила клиентите в предимствата на марката, така че сега трябва само се напомня за нея. Кока-кола често използва подобни кампании, въпреки, че е лидер на пазара на безалкохолни напитки. Крайната цел на маркетинговите комуникации е да накарат потенциалните потребители да извършат покупка. Моделът, които се използва за постигане на целите на маркетинговите комуникации се нарича AIDA. Абревиацията се състои от първите букви на следните думи: Attention – Внимание, Interest – Интерес, Desire – Желание, Action – Действие. Първата стъпка е да се привлече вниманието потенциалния потребител по някакъв отличителен начин. След това различните инструменти за насърчаване имат за цел да предизвикат интерес към евентуална покупка, които в последствие да прерастне в желание. Крайният етап е свързан с действието – т.е. самата покупка. Разширеният вариант на модела AIDA е концепцията за „йерархията на ефектите”. Според нея решението за покупка от страна на потребителите е резултат от 6 степенен процес: awareness – научаване, knowledge – знания, liking – харесване, preference – предпочитание, conviction – убеденост, purchase – покупка.

11.4 Институционални определения за реклама

Едно от най-кратките определения за реклама принадлежи на Новозеланската асоциация на туристическите агенции: „Рекламата е платена комуникация от явен/известен спонсор чрез масовите медии.” Една от най-популярните и точни дефиниции за рекламата като комуникационен инструмент е от Европейската асоциация на рекламните агенции и гласи: „Рекламата представлява всяка платена форма на контролируемо въздействие, осъществявано чрез средствата за масова комуникация, по представяне и налагане на стоки и услуги в интерес на явен източник.” Според Амерканскта маркетинтова асоциация „Рекламата представлява форма на нелично представяне и придвижване на търговски идеи, стоки и услуги, заплащана от ясно установен рекламодател.” Съществува и едно по-дълго определение за рекламата като неперсонална форма на комуникация: „Рекламата всъщност е нещо, което някой желае да каже на потенциалните потребители на даден продукт и то по начин, който ще ги накара да го предпочетат за покупка пред друг продукт. Целта на рекламата е да информира и да убеждава за предприемане на покупка. Рекламодателят осъществява това чрез място и време закупено от мас-медиите”.
Макар, че последното определение покрива в голяма степен същоността на рекламата, трябва да се отбележи, че не всяка реклама е насочена към потенциални потребители. Понякога целева аудитория на рекламата са бивши потребители, които фирмата е изгубила. Освено това, макар и по-рядко имаме и реклама, която не цели директни продажби, а просто трябва да информира или напомни нещо. Едно от най-интересните определения за рекламата принадлежи на рекламиста Ал Рийс: „ Рекламата е изкуство за внедряване на изключително предложение за продажба и вкарва продукта в съднанието на максимален брой хора при минимум разходи.” Два са основните момента последното определение: първо, че рекламата е изкуство и второ, че всяка реклама трябва да съдържа интересно впечатляващо предложение за продажба. Поради това Рийс нарича това предложение изключително, тъй като то трябва да бъде много по-различно от информацията за даден продукт или услуга.

Рекламната дейност е не само най-важният елемент на комуникационния микс на туристическата фирма, но и един от основните пътища за налагане на фирмен стил и изграждане на корпоративна идентичност. Съществуват различни видове реклама в зависимост от вида на рекламния канал, който има различна степен на въздействие върху целевата аудитория. Според някои специалти е добре да се класифицират печатните рекламни издания на две групи основни и спомагателни. Към основните спадат: проспекти, дипляни, листовки, каталози, указатели, справочници, менюта, пътеводители, ценоразписи, фирмени бюлетини и др. Към спомагателните печатни издания спадат най-различни ръководства за монтаж, инструкции за екплоатация и др., но в туризма това са преди всичко поздравителните издания – честитки, картички, покани. Основно използваните в туристическата индустрия издания са брошурите, каталозите и дипляните. Икономическите субекти, които използват рекламни брошури за промоция и продажба на туристическия си продукт са туроператорите и туристическите агенции. Туроператорите създават и продават туристическите пакети. В световен мащаб те имат най-развита структура във Великобритания и Германия. Туристическите агенции пък са основния канал за продажба на окомплектования от туроператорите туристически пакет. Инструментът за реклама и продажба на тези пакети, който е необходим и на двата вида субекти в туристическата индустрия, това е брошурата. Брошурата е непериодично печатно издание с малък обем, което се използва като рекламно средство за въвеждане на нови стоки при профилирани целеви групи. Същността на техниките за продажба, използвани в брошурите, се изразяват в поместването на цветни фотографии, изобразяващи незабравими моменти от ваканцията в дадена туристическа дестинация, насърчаващи цени за привличане на вниманието на потенциалните потребители и качестветно художествено оформление. Предимствата на брошурата е, че предоставя някакъв вид материално доказателство за вид услуга, която ще се консумира в бъдеще време. Каталозите са често използвани за нуждите на рекламата. По дефиниция каталог се нарича подробен указател за определени стоки и услуги, даващи определен вид и последователност от знания за тях, за служебно или лично ползване. Най-често използваните каталози са сезонни или годишни. Съвременният туристически каталог е богато илюстрирано печатно издание, предназначено за определен кръг заинтересовани лица – потенциални туристи. Телевизионната и радио-рекламата стадат към неличните канали за маркетингови комуникации. Телевизията е най-важният неличен комуникационен канал с много голямо покритие на аудиторията. Всички хора, които гледат комерсиална телевизия са наясно, че след определен момент ще бъдат обект на въздействие от стана на телевизионни рекламни продукти и услуги. Телевизията е канал с аудио-визуално въздействие върху аудиторията. В по-голямата част от европейските държави между 75 и 95% от домакинствата имат телевизионен приемник, а в над 40% от тях имат повече от един такъв, което увеличава шансовете на телевизионните реклами да бъдат видени. Телевизионната реклама е най-скъпата от всички видове реклама, защото цената в пиковите часове е много висока, а цената е функция на часовия диапазон за излъчване. Телевизионната реклама има значително приложение в туризма, но преди всичко за нуждите на международния туризъм. За една страна е изключително важно да инвестира в международната си реклама и да рекламира туристическите си ресурси в държавите, които са нейни настоящи и потенциални туристически пазари. В национален мащаб телевизионната реклама рядко се използва за нуждите на вътрешния туризъм, причините за това са предимно от финансов характер. За туристическите фирми интерес представлява рекламата в печатните медии като вестници и списания. За някои туроператори рекламата в списания може да бъде много ефективна. Два вида стратегии за реклама в списанията работят сравнително успешно. Едната е свързана с рекламирането в списания, които достигат до ограничен кръг хора, т.е. до сравнително малък сегмент от високоплатежоспособни хора със сходни интереси и достатъчно свободно време. Другият вид стратегия за реклама в печатните медии е свързана с публикуването на обяви и рекламни съобщения във вестници и списания, които са специализирани или близки до областта на интереси, в която е планирано пътуването. Тази стратегия е подходяща за агенциите, които предлагат ваканции – приключения, които са сравнително нов туристечски продукт. В Великобритания и Швейцария туристически фирми предлагащи вело-турове рекламират своите услуги в специализирани в областта издания. Подобно на тях в САЩ туроператори предлагат ваканции за гмуркачи в специализираната за екипировка и аксесоари преса.
Размерът на рекламния бюджет трябва да бъде съобразен с маркетинговите и комуникационните цели. При планирането на медиите трябва да се вземат предвид някои важни показатели:
• Покритие: Колко лица следят съответната медия?
• Цена на хиляда: Колко ще струва изпращането на рекламно послание до хиляда лица?
• Достигане до целевите групи: Кои целеви групи ще бъдат достигнати с избраната медия?
• Адекватност на медиите: Какво послание и тоналност са подходящи за съответната медия?
• Качество на въздействието: Какво отношение към медиите имат потребителите на съответната медия?

ОСНОВНИ ПОНЯТИЯ ЗА ИНФОРМАЦИЯ И СИГНАЛИ

Опитите да се даде точно определение за информация са безуспешни – различните специалисти използват различни работни понятия. Думата informatio е от латински произход и означава осведомяване.
За неспециалистите понятието информация представлява съвкупност от сведения за дадено събитие или за състоянието на някаква материална среда.
Информацията намалява неопределеността в знанията ни за обекта. Неопределеността се разкрива чрез вероятностни оценки, които от своя страна посредством съответни зависимости служат за изразяване на количеството информация в подходящи единици. Например, ако знаем, че на територията на даден завод има автоматична линия за производство на опаковки, не можем да направим поръчка, тъй като не знаем за какво са предназначени. Следователно, едва след като узнаем за какво са опаковките и каква е цената разкриваме съществуващата неопределеност и можем да вземем решение. Става ясно, че информацията служи за вземане на решение, а чрез него се управлява някакъв обект.
За специалистите, заети с обработката и пренасянето на информацията, работното понятие за информация обхваща всички сведения, които подлежат на пренасяне (предаване), преобразуване и съхраняване. Най-често това се извършва чрез електрически сигнали.
Съобщение – формата на представяне на информацията (телеграма, текст).
Сигнал (signum – знак) – физически процес, който отразява (изобразява) съобщението.
Видове сигнали:
- по тяхната природа – оптични, акустични, електрически;
- по предназначение – телефонни, видеосигнали, радиосигнали;
- по вид – детерминирани, случайни;
Детерминираните сигнали могат да се предскажат с вероятност единица ( ) и те не носят никаква информация, защото не разкриват никаква неопределеност. Случайните сигнали могат да се предскажат с вероятност по-малка от единица.
Математическият модел на сигнала е . В зависимост от функцията , сигналите се подразделят на непрекъснати и дискретни.
За сигнали в техническите системи се избират физически процеси, които отговарят на следните условия:
- могат да се разпространяват на значителни разстояния чрез изразходването на минимално количество енергия;
- могат да управляват местни източници на енергия, без да въздействат пряко на изпълнителните механизми. Например, електрически сигнал включва и изключва електродвигател от голямо разстояние;
- могат да въздействат на особени органи на специално организирана система.
Информацията и сигналът имат смисъл само в дадена система.
Пренасянето на сигнали се налага, тъй като източникът и получателят на информация се намират обикновено на разстояние един от друг. Примерна схема на система за предаване на сигнали е показана на



От наблюдавания обект се получава сигналът . Чрез преобразувател той се преобразува в , който е сигнал удобен за обработка и пренасяне (обикновено електрически сигнал). Устройството за кодиране е необходимо за получаване на сигнали, които ще могат да се пренесат по канала за връзка. При това се създават прости сигнали, които освен, че се пренасят лесно, са защитени и от смущения. Чрез модулатора се формира сигналът , като параметрите на високочестотно трептение се изменят в зависимост от . може да се пренася на голямо разстояние с малки загуби на енергия, например високочестотен кабел. Това е линията за връзка. Съоръженията за пренасяне на един сигнал образуват канала за връзка. Една линия може да служи и за повече канали. Чрез демодулатора, от модулираното високочестотно трептение се получава кодирания сигнал . След декодиране и преобразуване в , той е носител на информацията.


КОЛИЧЕСТВЕНО ОПРЕДЕЛЯНЕ НА ИНФОРМАЦИЯТА. ЕНТРОПИЯ. СВОЙСТВА. ИЗЛИШЪК ОТ ИНФОРМАЦИЯ

Количественото определяне на информацията е необходимо при проектиране и експлоатиране на системите за измерване, контрол и управление. От количеството информация зависят параметрите на устройствата за обработка и пренасяне на сигнали.
Вече беше изтъкнато, че информацията намалява неопределеността в знанията ни за обекта, а тя от своя страна може да се оцени чрез вероятността за появата на дадено събитие.

1. Количество информация
Единицата за количество информация е бит (binary digit – двоична единица). Един бит информация се получава, след като се узнае кое от две равновероятни събития е настъпило. Например - хвърлянето на монета, вероятността след падане монетата да е отгоре е , или кой от два отбора ще започне пръв играта. И в двата случая се получава 1 бит информация.
Двете равновероятни събития могат да се означат като символи с 0 и 1. При символа, ако за формирането на едно съобщение са необходими символа, броят на възможните съобщения е . Нека , , възможни са съобщения (при 0 и 1, то съобщенията са 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111). Броят на съобщенията зависи експоненциално от символите , a това е неудобно при определяне на броя на съобщенията и на количеството информация.
Поради това Р. Хартли е предложил логаритмична мярка. Ако количеството информация се означи с I, то , т.е. количеството информация I е пропорционално на n. За да се изрази количеството информация I в bit, трябва при за основа на логаритъма да се приема числото 2, т.е. , bit.
Ако се използва десетичен логаритъм, количеството информация I се измерва в dit (дит)(тази единица се нарича още Хартли). Връзката между нея и двоичната единица е ( ) .
Комбинативният подход на Р.Хартли при определяне на количеството информация важи за равновероятни събития или съобщения. По-съвършен начин за оценка е предложил К.Шенон. Количеството информация зависи от априорната вероятност (вероятността за появата на събитието до провеждането на опита, преди приемането на съобщението) и апостериорната вероятност (след опита, след приемането на съобщението).
Количеството информация I се определя с отношението на двете вероятности и , като в логаритмична мярка
(1)
Приетото съобщение е напълно вярно, ако и =0. За количеството информация се получава формулата
, bit. (2)
Количеството информация е положително число, тъй като 0< <1 и логаритъмът е отрицателно число.
Прието е да се смята, че при =0 и I =0, защото при две възможни състояния, ако едното е невъзможно, то може да се твърди обратното (възможното) и да се приеме =1. Например вероятността през юли да завали сняг в Русе е =0. Логаритъмът от нула е неопределеност и изчислението няма смисъл. Тогава се смята, че вероятността, че няма да завали сняг в Русе през юли е =1 и I =0.

2. Ентропия на съобщението
Ентропия – характеризира неопределеността на някаква задача или ситуация, т.е. количествена оценка за неопределеност. Ентропията е средното количество информация на едно съобщение.
Нека са дадени N възможни съобщения, групирани в к вида. Съобщението от вида i (i=1...k) се повтаря пъти и доставя информация, която се оценява количествено с .
Осредняването може да се извърши, като се използва зависимостта . (3)
Като се използва, че

, , следва



Честотата на повторенията на отделните съобщения е .
Следователно
(4)
e ентропия по Шенон.
Размерността на ентропията е bit.
Ентропията може да се разглежда, като функция на времето, т.е. , т.е. променя се във времето (при разпознаване на образи).

3. Свойства на ентропията Н
От самата постановка на гореизложената задача се вижда, че =1.
3.1. Ако едно от събитията е достоверно, ентропията е равна на 0: = 1, , H = 0.
3.2. При равновероятни събития ентропията има максимална стойност: , .
3.3. Koгато събитията са с различна вероятност и сред тях няма достоверно събитие, ентропията е по-голяма от 0 и по-малка от максималната стойност:
, 0< H < .
Дискретните съобщения, използвани в практиката, са с понижена ентропия по следните причини:
а) символите са с различна вероятност за поява;
б) съществува корелационна връзка между тях; например често пъти една буква се появява точно след друга и т.н.

4. Излишък от информация. Хората обикновено възстановяват буквите и думите, които липсват в текста или речта.
Излишъкът на съобщението се определя с израза
R = 1 - . (5)
Излишъкът натоварва канала, но успоредно с това той създава определена защита от смущения.

5. Система
Системата може да бъде представена като процес, при който резултатът е преобразуването на сигнали. Следователно, системата има входни и изходни сигнали, като изходните сигнали са свързани с входните чрез преобразуването в системата.
Когато става въпрос за автоматично управление на системата, тя се разглежда като съвкупност от три елемента – управляем обект, управляващо устройство и среда, с която обектът взаимодействува. Средата може да се изключи, като външна по отношение на управляемата система, но в този случай обектът трябва да се разглежда в по-широк смисъл, като обособена част от тази среда заедно с връзките, които съществуват между него и останалата среда.

ОСНОВНИ НЕПРЕКЪСНАТИ И ОСНОВНИ ДИСКРЕТНИ ВЪВ ВРЕМЕТО СИГНАЛИ

Основните сигнали можем да наречем още сигнали за изпитване, тъй като доставят информация за свойствата на системите. Те първоначално са детерминирани сигнали, тъй като се описват със строго определени зависимости. За тях всичко се знае. Следователно могат да се предскажат с вероятност .


S вх. S изх.
Система
Въздействие Реакция

Фиг. 2
Основните сигнали се използват като въздействия върху системите. На фиг.2 е дадена система с един вход и един изход, но тя може да бъде примерно с m входа и n изхода. Сигналът, който постъпва на входа на системата се нарича въздействие, а изходният сигнал – реакция.
Основните сигнали след преминаването си през системата променят някои от параметрите си и тези параметри вече са носители на информация за състоянието и свойствата на системата. Сравняването на въздействието и реакцията е в основата на “извличането” на информацията.
Нека системата е една електрическа верига. По реакцията може да се узнае сигналът в тази верига усилва ли се или затихва, веригата съдържа ли реактивни елементи и от какъв вид са, веригата устойчива ли е или след прекратяване на въздействието продължава да генерира трептения и т.н.
Основните сигнали се използуват при анализ на системи и при измервания, т.е. за изпитване на системите. Те са непрекъснати и дискретни. Използуването им се съобразява с вида на системата. Както ще бъде показано по-нататък, системата може да бъде непрекъсната или дискретна. Това подразделяне е подчинено на сигналите, предназначени за обработка от системата или за нейното управление.

1.Единичен импулс
Непрекъснатият единичен импулс се нарича още непрекъсната импулсна функция или функция на Дирак. Прието е в литературните източници да се означава предимно с и се определя чрез зависимостите

(6)
Площта на единичния импулс е



На фигура 3а) е показан единичен импулс. Неговата височина, съгласно (6), е безкрайно голяма, а широчината му – безкрайно малка. Интегралът пък означава, че площта на е равна на единица. Физически трудно може да се представи такъв импулс, но при грубо приближение, това е съвсем краткотраен импулс със сравнително голяма височина – например пускане и моментално спиране на регулиращ орган. Продължителността трябва да бъде съизмерима с най-бързия динамичен параметър на системата, а амплитудата трябва да е достатъчно голяма, за да предизвика реакция на системата. Голямата амплитуда се ограничава от обхвата на изпълнителния орган. При наблюдения чрез осцилоскоп, за да има повторяемост, се реализира поредица от такива импулси и краткотрайността се определя съобразно периода на повторение, т.е. продължителността на импулса трябва да бъде много малка в сравнение с периода на повторение.
Единичният импулс може да не е в началото на времето на отчитане =0, а например да се появи след време , фиг.3б). Тогава изразяването е следното
(7)
Дискретният единичен импулс, известен още като функция на Кронекер, се определя чрез зависимостта
(8)
Много често се използва и наименованието единичен отчет.

2.Единична функция
Този сигнал се нарича още функция на Хевисайд. Означава се най-често с при непрекъснатост на времето. Приложението му е много широко.
Непрекъснатата по отношение на времето единична функция се определя чрез зависимостта
(9)
На фиг.4а) е дадена графиката на сигнала. Вижда се, че тя е с постоянна стойност, равна на единица и с безкрайна продължителност.





Фиг. 4а Фиг. 4б

Графиката на този сигнал при закъснение с време спрямо началото на отчитане е дадена на фиг.4б), а зависимостта се изразява по следния начин
(10)
За груба оценка при измервания, се използува поредица от правоъгълни импулси с голяма продължителност по отношение на изследвания обект. Ако той е силно инертен, трябва импулсите да са продължителни и с голям период на повторение. За пример може да се посочи една електрическа верига, която съдържа реактивни елементи. В този случай продължителността на импулсите и периодът на повторение трябва да са много по-големи от времеконстантата на веригата. Ще припомним, че времеконстантата на една верига от резистор и кондензатор е равна на произведението от съпротивлението и капацитета на елементите ( =RC).
Строго погледнато единичната функция не може да се реализира, тъй като напрежението не нараства със скок, защото реалните вериги съдържат реактивни съставки, независимо че са малки по стойност, и втората причина е продължителността на сигнала. Реалните сигнали са с крайна продължителност.






Фиг. 5а Фиг. 5б

Дискретната по отношение на времето единична функция е
(11)
На фиг.5а) е показана графиката на сигнала, описан чрез (11). Това е поредица от единични импулси, която започва от нулата и продължава до безкрайност. При закъснение с m интервала, графиката има вида, даден на фиг.5б), а описанието е
(12)
Важна е връзката между единичния импулс и единичната функция
и . (13)
3. Единична хармонична функция
(14) Чрез хармоничните функции се определят честотните характеристики на системата.

4. Степенни функции
-линейна степенна функция
(15)
където е константа.
- квадратична степенна функция
(16)
Чрез степенните функции не се дефинират основни характеристики на системите, но се използват в редица случаи, като типични входни въздействия за системите.

5. Филтриращо свойство на единичния импулс
Ако е непрекъсната функция на времето в интервала , то
(17)







Фиг. 7




СПЕКТРАЛЕН АНАЛИЗ НА ПЕРИОДИЧНИ СИГНАЛИ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕН РЕД НА ФУРИЕ. ЧАСТНИ СЛУЧАИ ПРИ РАЗЛАГАНЕ НА ПЕРИОДИЧНИ СИГНАЛИ
1.Апроксимиране на периодичен сигнал чрез тригонометричен ред на Фурие
Периодичният сигнал се описва с функцията , =0, 1, 2,.., т.е. сигалът се повтаря през равни интервали от време Т. Сигналът може да има правоъгълна, трионообразна или друга по-сложна форма. Той може да се представи чрез ред на Фурие и да се установи неговият спектър. Броят на членовете на реда е безкраен, но в този вид намира приложение в аналитичните разглеждания. При други случаи членовете от някакъв номер нагоре се пренебрегват, тъй като тяхното влияние върху енергията на сигнала няма практическо значение, т.е. не носят съществена информация.
За да се представи един периодичен сигнал с ред на Фурие, трябва функцията, която го описва , да удоволетворява условията на Дирихле: да бъде по части непрекъсната и да има по части непрекъсната производна.
Тригонометричният ред на Фурие има вида
, (18)
където е ъгловата честота, а Т – периодът на повторение.
Всички коефициенти на реда на Фурие се изчисляват за фиксиран интервал от време, равен на един период .
, (19)
, (20)
където е цяло число.
При =0 се получава
(21)
и се описва средната стойност на сигнала за един период.
Редът на Фурие е безкраен. Отделните членове се наричат хармоници.
Тригонометричният ред на Фурие може да се представи и като
= , (22)
където ; ; ; .







a) б)
Фиг. 7

2. Спектрална диаграма на периодичния сигнал
Хармоничната съставка с номер се изразява с формулата
. (23)
На фиг. 7а е показана спектралната диаграма на периодичния сигнал. Вижда се, че спектърът е прекъснат, състоящ се от безкраен брой хармонични съставки с амплитуди , разположени по оста на честотата през интервал . Освен това може да съществува и постоянна съставка с честота =0. На диаграмата не са отразени фазите на отделните съставки.
На фиг. 7б е дадена векторната диграма. С е означена амплитудата, –началната фаза; – фазовият ъгъл за времето .
Редът на Фурие се използва при анализа на линейни системи.

3. Частни случаи при разлагане на периодични сигнали в ред на Фурие
3.1. Ако s(t) се описва с четна функция на времето, членовете са нули, а при s(t) - нечетна функция, са нули.
3.2. Транслирането на абсцисната ос изменя само постоянната съставка , а на ординатната – само фазата на отделните хармоници.
3.3. Ако положителните и отрицателните стойности на функцията s(t) описват за един период еднакви лица с абсцисната ос, то постоянната съставка е = 0.
3.4. Ако сигналът s(t) може да се представи като сума от няколко по-прости сигнали, то коефициентите и в разложеното s(t) са суми от съответните коефициенти на разложенията на съставните сигнали.
Пример: Да се определи спектъра на сигнала с правоъгълна форма, като се разложи в ред на Фурие.

Фиг. 8

1. Търсят се частни случаи:
Функцията , описваща сигнала е нечетна функция. Следователно
Положителните и отрицателните стойности на описват еднакви площи с абсцисната ос. Следователно , т.е. няма постоянна съставяща.
2. Описване на сигнала в рамките на един период:

3. Определяне на неизвестните коефициенти:

=
Окончателно се получава

4. Записване на реда на Фурие:
.
Амплитудата на петата хармонична съставка е 20% от амплитудата на първата. Следователно, апроксимирането с малка грешка изисква голям брой членове.






КОМПЛЕКСНА ФОРМА НА РЕДА НА ФУРИЕ
Комплексната форма на реда на Фурие е удобна за представяне на сигналите, когато се разглежда тяхното въздействие върху електрическите вериги, описвани с комплекси числа. Чрез формулата на Ойлер хармоничната съставка с номер може да се представи като
(24)
С помощта на векторната диаграма, фиг. 9, се изобразяват две трептения – едното с положителна честота , a другото с отрицателна – , която няма физически смисъл. За индексите на величините с отрицателна честота се приемат отрицателни знаци. Mоментната стойност на на хармоничната съставка с номер n е равна на сумата от проекциите на двата вектора, т.е.
. (25)










Фиг. 9

Следователно може да се представи със сумата на хармоничните съставки в експоненциална форма

(26)
(27)
Коефициентът се получава при n=0 и φn= 0 => От (27) при сумиране в интервала -∞ ÷ +∞ се получава , (28)
където комплексната амплитуда може да се представи като (29)
Изразите (28) и (29) ще бъдат използвани и при спектралния анализ на непериодични сигнали.
Ако се използва комплексната форма на реда на Фурие (28), спектралната диаграма на периодичния сигнал има вида

Фиг. 10

Съставките с отрицателна честота нямат физически смисъл, Необходими са само за математическото представяне на сигнала в комплексна форма.
Спектърът на периодичния сигнал е дискретен.




РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ НА МОщНОСТИТЕ В СПЕКТЪРА НА ПЕРИОДИЧНИЯ СИГНАЛ

В практиката често се налага да се установи в коя част на спектъра на сигнала е съсредоточена енергията. За периодичните сигнали се прави оценка чрез разглеждане на средната мощност, която се определя като активна мощност на сигнала в съпротивление и се изчислява чрез зависимостта
(30)
Всички интеграли, които имат за подинтегрална функция cos стават нули. Следователно
. (31)
Равенството (31) е известно като равенство на Парсевал. Според него, средната мощност на периодичния сигнал е равна на сумата от средните мощности на всички хармонични съставки и мощността на постоянната съставка. Средната мощност на периодичния сигнал не зависи от началните фази на съставките.
Ефектът от въздействието на сигнала върху някакво устройство зависи от средната мощност. Ако устройството се представи с еквивалентно товарно съпротивление, вижда се какъв е делът на всяка хармонична съставка. Например, за периодичен сигнал с правоъгълна форма, с разложение в ред на Фурие
, се получава, че амплитудата на петата хармонична съставка е 20% от амплитудата на първата, но средната мощност на петата хармонична съставка, според равенството на Парсевал е 4% от средната мощност на първата.



СПЕКТРАЛЕН АНАЛИЗ НА НЕПЕРИОДИЧНИ СИГНАЛИ

1. Преход от дискретен към непрекъснат спектър
Непериодичният сигнал се получава от периодичния, ако се допусне, че
периодът клони към безкрайност .











Фиг. 11

За непериодичен сигнал, със спектър от фиг. 11, при се получава, че
, т. е. ще намалява и ще клони към нула, в резултат на което отделните хармоници ще се доближат и в граничен преход ще се слеят. Спектърът на непериодичния сигнал е непрекъснат.

2. Преобразувание на Фурие
На базата на така приетата постановка за представяне на непериодичния сигнал, ще анализираме какви промени настъпват с комплексната амплитуда.
(32)

където
.
Следователно
. (33)
Разглеждаме какви изменения ще претърпи изразът за комплексната форма на реда на Фурие
.
Получава се
(34)
Следователно
. (35)
Изразът (35) е известен като двоен интеграл на Фурие – дава връзката между временната и честотната област.
Означаваме
. (36)
Изразът (36) определя спектралната плътност на сигнала. Преминаването от временната в честотната област се нарича право преобразувание на Фурие.
Обратното преобразувание на Фурие е
. (37)
Зависимостите (36) и (37) се прилагат при детерминирани сигнали.
Правото и обратното преобразувание на Фурие имат извънредно голямо приложение при анализа на сигналите и системите.
Преобразуванията на Фурие важат когато са изпълнени условията: 1. е интегруема; 2. Интегралът е сходим.
Физическа същност на спектралната плътност
От , (38)
cе вижда, че модулът на спектралната плътност характеризира разпределението на амплитудите, а аргументът – на началните фази.
Спектралният анализ на непериодичните сигнали беше направен при условие, че времетраенето на сигнала е неограничено. В действителност сигналите са ограничени във времето и тогава
. (39)
Колкото един импулс е по-кратък, толкова неговият спектър е по-широк. Формата на кратки импулси имат и голяма част от смущенията. Широките им спектри са причина за тяхното проникване в каналите за връзка.
Пример: Да се направи анализ на непериодичния сигнал от фигурата с амплитуда и продължителност .




Фиг. 12

Следователно
;
, когато .




Фиг. 13


СВОЙСТВА НА ПРЕОБРАЗУВАНИЕТО НА ФУРИЕ


Свойствата на преобразуванието на Фурие са:
1. Линейност

,(40)
където са константи.
2. Отместване във времето
Това свойство е известно и като теорема за закъснението
(41) Отместването на сигнала във времето не променя неговата спектрална функция.
3. Изменение на мащаба
При свиване на сигнала във времето пъти, толкова пъти се разширява неговият спектър
. (42)
Това свойство показва, че колкото по-краткотраен е сигналът, толкова по-широка е неговата честотна лента. Очевидна е и обратната зависимост, свързана с изменението на мащаба на времето.
4. Диференциране и интегриране на сигнала
-диференциране
(43)
При диференцирането се увеличава скоростта на изменение на сигнала, а това предизвиква нарастване на спектъра в областта на високите честоти.
- интегриране
. (44)
5. Отместване (пренасяне) на спектъра
Отместване на спектъра се получава, когато сигналът се умножи с хармоничното трептение . Получава се
. (45)
Чрез филтриране може да се отдели една от двете части в (45) и така да се получи “пренасяне” на спектъра в областта на по-ниските или по-високите честоти.


СПЕКТРИ НА НЯКОИ СИГНАЛИ

1. Спектър на единичния импулс
Известно е, че единичният импулс има безкрайно малка широчина, безкрайно голяма височина и площта му е единица, т.е.
и .
От направения извод за връзката между продължителността на сигнала и неговия спектър, би трябвало единичният импулс да има безкрайно широк спектър.
Спектърът на единичния импулс може да се определи, като се използва филтриращото свойство на функцията. Например, стойността на сигнала в момента е
. (46)
Нека приемем . Тогава
. (47)
Съгласно правото преoбразувание на Фурие, спектърът на единичния импулс, изместен на време , e
. (48)
От сравнението на формули (47) и (48) се получава
. (49)
За изразяване на времето трябва да се положи . Следователно от (49) се получава
.

Следователно
(50)
Следователно спектърът на единичния импулс е равномерен, непрекъснат и равен на единица.








а) б)
Фиг.14

На фигура 14а) и 14б) са показани графиките на сигнала и неговият спектър






a) б)
Фиг. 15

2. Спектър на единичната функция
Графиката на на единичната функция е дадена на фиг. 15а). Аналитичното й описание е

За определяне на спектъра може да се използвува “множителят за сходимост” . Тогава
(51)
При граничния преход се получава
. (52)
Следователно
(53)
. (54)
На фигура 15а) и 15б) са показани графиките на , и .


ВЗАИМНА СПЕКТРАЛНА ПЛЪТНОСТ НА СИГНАЛИТЕ. РАВЕНСТВО НА РЕЛЕЙ. ЕНЕРГИЕН СПЕКТЪР

Чрез взаимната спектрална плътност се съди за взаимодействието на сигналите в енергийно отношение и в определена част от спектъра. По същество се преминава от временната в честотната област на разглеждане. Нека разгледаме два сигнала и . Тяхното взаимодействие във временната област се определя количествено чрез скаларното произведение , което от своя страна е
(55)
За сигналите и , изразени чрез спектралните функции, имаме
(56)
. (57)
Коя да е от тези зависимости може да се замести в израза за скаларното произведение (55). Ако се замести втората, се получава
. (58)
Като се смени редът на интегриране се получава
(59)
Вторият интеграл изразява спектралната функция на сигнала , но при отрицателен аргумент, т.е.
(60)
Ако се вземе под внимание израза (60), изразът (59) се представя по следния начин
(61)
където е комплексно спрегнатата спектрална функция на сигнала .
Следователно скаларното произведение на двата сигнала е пропорционално на скаларното произведение на техните спектрални плътности.
Равенството (61) е известно в литературата като обобщена формула на Релей.
Функцията, определена като
(62)
е реална и се нарича взаимен енергиен спектър. Тя показва в коя част на спектъра и в каква степен си взаимодействат двата сигнала и .
Като се вземе под внимание (62), обобщената формула на Релей придобива вида
. (63)
Чрез (63) може да се реши задачата за избор на два максимално независими сигнала, ако са известни техните спектрални функции. За целта трябва да се минимизира (двата сигнала са напълно независими, ако тяхното скаларно произведение е 0). Графично, нека функцията има вида, показан на фиг. 16.





Фиг.16
За намаляване на връзката между двата сигнала може да се използува ортогонализиращ филтър. Неговият коефициент на предаване , фиг. 16, има малка стойност, там където взаимният енергиен спектър има голяма стойност и обратно. По-точно решение се реализира при цифрова обработка на сигналите. Колкото по-слабо се припокриват спектрите на двата сигнала, толкова по-добре може да се отдели единият от другия сигнал.
Чрез равенството на Парсевал беше установено разпределението на мощността в спектъра на периодичния сигнал. За непериодичните сигнали е удобно да се установи разпределението на енергията в спектъра. За целта допускаме, че двата сигнала са идентични , т. е. . Тогава
. (64)
Индексът няма смисъл и може да не се пише. Тъй като , то (65)
Изразът (65) е известен като равенство на Релей. Функцията показва разпределението на енергията в спектъра на сигнала и се нарича енергиен спектър. Спектралната функция има размерност Амплитуда/Hz. Размерността на енергийния спектър е
(Амплитуда)2/(Hz)2 = Амплитуда.s/Hz
или това е разпределението на енергията в честотната област.

ПРЕОБРАЗУВАНИЕ НА ЛАПЛАС. ОБРАТНО ПРЕОБРАЗУВАНИЕ НА ЛАПЛАС. СВОЙСТВА. ТАБЛИЦА НА ПРЕОБРАЗУВАНИЕТО НА ЛАПЛАС

1. Право и обратно преобразувание на Лаплас
Непрекъснатото едностранно право преобразувание на Лаплас се определя като
, (66)
където е оригиналът,
- образът.
Обратното преобразувание на Лаплас се определя като
. (67)
Дискретното право преобразувание на Лаплас е
. (68)

2. Свойства на преобразуванието на Лаплас
1. Линейност
(69)
2. Теорема за закъснението
. (70)
3. Диференциране и интегриране
(71)

; (72)
. (73)
4. Мащабиране
. (74)
5. Умножение с експонента
(75)
. (76)



3. Таблица на преобразуванието на Лаплас
Оригинал Преобразувание на Лаплас z- преобразувание

























































ЛИНЕЙНИ ПРЕОБРАЗУВАНИЯ НА СИГНАЛИТЕ - ПРЕХОДНА ФУНКЦИЯ, ТЕГЛОВНА ФУНКЦИЯ И ЧЕСТОТНИ ХАРАКТЕРИСТИКИ

1. Теоретични сведения
При преминаване на входния сигнал през каква да е динамична система той се преобразува в изходния сигнал . В системата се извършва преобразуване на входния сигнал в изходен, което се означава с , фиг. 17, където е операторът, определящ закона на преобразуване.

фиг. 17

При един и същ вид на оператора , характерът на изменение на изходния сигнал зависи от закона на изменение на входния сигнал . В зависимост от вида на входния сигнал, за реакцията се получават различни характеристики.

2. Тегловна функция
Функцията , описваща поведението на изходния сигнал при подаване на входа на единичен импулс се нарича тегловна функция на системата, фиг. 18.


фиг. 18

3. Преходна функция
Функцията , описваща поведението на изходния сигнал при подаване на входа на единичен стъпаловиден сигнал се нарича преходна функция на системата, фиг. 19.

фиг. 19

Връзката между тегловната и преходната функция на системата е
. (77)

4. Честотни характеристики на системата
Получават се при подаване на входа на системата на синусоидален сигнал . При изменение на честотата на хармоничния входен сигнал (в установен режим) амплитудата и фазата на изходния сигнал се изменят в съответствие с динамичните характеристики на системата. В този случай те се определят с комплексната функция , която е отношение на преобразуванието на Фурие на изходния сигнал към преобразуванието на Фурие на входния сигнал
. (78)
Реакцията на линейна система на хармоничен входен сигнал е показана на фиг. 20.


фиг. 20
е комплексна функция на реалната променлива и може да се представи по следните два начина
; (79)
, (80)
където са съответно модулът, аргументът, реалната и имагинерната част на функцията. За определена стойност на честотата, например , се получава комплексното число , което графично се представя в комплексната равнина с вектор, фиг. 21. Различните честотни характеристики са графики на и на отделните й елементи при изменение на в диапазона :

фиг. 21

4.1. Амплитудно-фазова честотна характеристика ( АФЧХ)
Тя представлява кривата в комплексната равнина, която описва върхът на вектора при изменение на чстотата в диапазона . Означава се с и примерен неин вид е показан на фиг. 21.

4.2. Амплитудно-честотна характеристика ( АЧХ)
. (81)









Фиг. 22


4.3. Фазово-честотна характеристика ( ФЧХ)
. (82)












Фиг. 23





4.4. Реална честотна характеристика (РЧХ)
. (83)











Фиг. 24

4.5. Имагинерна честотна характеристика (ИЧХ)
. (84)














Фиг. 25

Между различните честотни характеристики съществуват следните зависимости:
, (85)
(86)

, (87)
. (88)
Логаритмичната амплитудно-честотна характеристика (ЛАЧХ) по определение е
(89)
в единици децибели.Тя се построява в правоъгълна координатна система, фиг. 26, като стойностите на се нанасят по ординатната ос. По абсцисната ос се нанася честотата в логаритмичен мащаб. Това се извършва, като се изчисляват и нанасят в равномерен мащаб стойностите на , но се записват не те, а съответните стойности на . Характерно за логаритмичния мащаб е, че разстоянието между произволна честота и нейната десетократно увеличена стойност е постоянна величина, която се нарича декада.
Логаритмичната фазово-честотна характеристика (ЛФЧХ) се означава с и се построява, като по ординатната ос в равномерен мащаб се нанася в градуси или в радиани, а абсцисната ос е както при ЛАЧХ.



фиг. 26









ДИСКРЕТИЗИРАНЕ НА НЕПРЕКЪСНАТИ СИГНАЛИ

1. Дискретизиране на непрекъснати сигнали
Преобразуването на непрекъснатите сигнали в дискретни е известно като квантоване. Сигналите могат да бъдат квантовани по различни параметри – по ниво, по време или едновременно по ниво и време.
а) квантоване по ниво – фиксация на дискретни нива на сигнала в произволни моменти на времето, т.е. замяна на непрекъснатия сигнал с фиксирани дискретни негови стойности, най-близки до стойността му, фиг. 27. Например, един такъв квантовател може да бъде идеалното двупозиционно реле.









Фиг. 27
б) квантоване по време – фиксация на отделни стойности на непрекъснатия сигнал в определени моменти на времето, т.е. замяна на непрекъснатия сигнал със стойностите му във фиксирани моменти на времето, фиг. 28.










Фиг. 28



в) квантоване по ниво и време – непрекъснатият сигнал се заменя с дискретни
стойности, най-близки до непрекъснатия сигнал във фиксирани моменти на времето и фиксирани нива, фиг. 29.









Фиг. 29

2. Описание на квантоването по време







Фиг. 30

Непрекъснатият сигнал е квантован по време в през интервали с продължителност , , фиг. 30. Квантоването на сигналите по време условно се изобразява, като периодично затварящ се контакт К, който в се затваря, а в се отваря. Следователно, в интервалите , повтаря , а в , =0.
При определени условия, последователността от импулси с крайна продължителност може да бъде заменена с последователност от мигновени импулси, ако съответните площи на реалния и мигновения импулс са равни. По-нататък ще считаме, че площта на мигновения импулс е числено равна на стойността на непрекъснатия сигнал в . Следователно се заменя с последователност от мигновени импулси, еквивалентни по свойства на - функциите, с площ не единична, а равна на стойността на в моментите на затваряне на контакта. Така направеното преобразуване на реалната дискретна последователност от импулси в идеална позволява с еднакъв успех да се използва при системи с различен тип импулсна модулация.
За последователността може да се запише
, (90)
където е стойността на непрекъснатия сигнал в . Като се използва филтриращото свойство на - функцията може да се запише
. (91)
Допълването на безкрайната последователност от единични - функции при не променя последния израз. Следователно, може да се запише
. (92)
Ако се означи , то
, (93)
т.е. се получава амплитуден модулатор с носеща функция и модулираща функция .

СПЕКТЪР НА ДИСКРЕТEН СИГНАЛ. ВРЪЗКА МЕЖДУ СПЕКТРИТЕ НА ДИСКРЕТЕН И НЕПРЕКЪСНАТ СИГНАЛИ. СВОЙСТВА НА СПЕКТЪРА НА ДИСКРЕТНИЯ СИГНАЛ

1. Спектър на дискретен сигнал
Спектърът на дискретния сигнал се определя с израза
. (94)
2. Връзка между спектрите на дискретния и непрекъснатия сигнали
Връзката между спектрите на дискретния и непрекъснатия сигнали се определя с израза
. (95)
На практика достатъчно точни резултати се получават при
, (96)
тъй като амплитудата на останалите членове е много малка при 1< к < -1.













Фиг. 31
3. Свойства на спектъра на дискретния сигнал
3.1. Спектърът на дискретния сигнал е периодична функция на честотата
, с период . Затова може да го разглеждаме в интервал [0 ÷ ] или .
3.2. За спектъра на дискретния сигнал може да се направи записа (97)
От (97) следва

Следователно може да се строи само в интервала , a характеристиката за интервала е симетрична на построената спрямо реалната ос.


ТЕОРЕМА НА КОТЕЛНИКОВ-ШЕНОН

Изхожда се от . Следователно, ако съществува начин за пълно отфилтруване на всички хармонични компоненти, то би могло да се възстанови непрекъснатия сигнал по дискретната функция. Сигналът на изхода на импулсния елемент е еднозначно свързан с входния сигнал само в моментите на квантоване . Следователно на всеки входен сигнал съответствува точно определен дискретен сигнал, но обратното не е вярно, тъй като в интервалите между тактовите моменти видът на сигнала остава неизвестен.









а) б) t
Фиг. 32

На фиг. 32а) и фиг. 32б) е показан един и същ непрекъснат сигнал при различни честоти на квантоване. Разнообразието на функциите , съответстващи на , e за сметка на появата на по-високочестотни компоненти, които по принцип могат да бъдат отфилтрувани.
Изхождаме от формулата, определяща връзката между спектрите на дискретния и непрекъснатия сигнали
(98)
. (99)
Нека спектърът на непрекъснатия сигнал е ограничен по честота, т.е. при , фиг. 33.











Фиг. 33
Между и съществува двустранно съответствие от правото и обратното преобразувание на Фурие. С други думи, ако два спектъра съвпадат в целия честотен диапазон и техните временни функции съвпадат във всеки момент на времето. Следователно възстановяването на сигналите може да се раглежда като възстановяване на техните спектри.
Входният сигнал има ограничен по честота спектър и е изпълнено , фиг. 34, т.е. основната и страничните компоненти не се застъпват и могат лесно да бъдат разделени с нискочестотен филтър с честотна характеристика . Изходният сигнал на нискочестотния филтър има спектър, който съвпада със спектъра на непрекъснатия сигнал . Действително
. (100)







Фиг. 34

Следователно може да се формулира теоремата на Котелников-Шенон: Ако входният сигнал е с ограничен спектър със срязваща честота , удовлетворяваща условието , то без загуба на информация може да бъдат предавани вместо непрекъснатия сигнал неговите дискретни стойности, следващи с честота . Непрекъснатият сигнал може да бъде напълно възстановен, ако се пропусне през идеален нискочестотен филтър с честотна характеристика .
Доказателство на теоремата:
, , , . От обратното преобразувание на

Фурие имаме
. (101)
В диапазона
. (102)
Следователно
. (103)
Следователно, ако са известни , то може да бъде възстановен .















Фиг. 35


Разглежда се случая когато , фиг. 35:
Вижда се, че спектърът на квантования сигнал е деформиран в сравнение със спектъра на непрекъснатия сигнал. Следователно, не може чрез филтрация да се отдели “централната компонента”, а от там да се възстанови спектърът на непрекъснатия сигнал. Следователно, предаването на сигнала чрез неговите дискретни сигнали, следващи с честота е винаги съпроводено със загуба на информация.
Необходимо е да се избере условно така, че грешката от замяната на неограничения с ограничен спектър да бъде достатъчно малка. Условната определя съществения честотен диапазон в спектъра и може да се определи, като (или ) при ( е стойността при нулева или някаква друга фиксирана честота).











Z - ПРЕОБРАЗУВАНИЕ. ОБРАТНО Z - ПРЕОБРАЗУВАНИЕ. СВОЙСТВА. ТАБЛИЦА НА Z - ПРЕОБРАЗУВАНИЕТО

1. Право и обратно Z - преобразувание
В дискретното преобразувание на Лаплас
, (104 )
което е трансцендентна функция на оператора , се полага комплексната променлива и се получава z преобразуванието, т.е.
. (105 )
Изразът (105) е рационална функция и е удобно използването на Z - преобразуванието при анализа и синтеза на дискретни системи.
Възможно е да бъде зададено и с операторния си образ . Тогава се използват същите таблици, като символично се записва
. (106 )
Обратното Z - преобразувание позволява да се намери оригиналът , ако е известно Z преобразуванието
. (107)

2. Свойства на z преобразуванието
2.1 . Линейност
Ако , то (108 )
където са постоянни коефициенти.
2.2. Изместване във временната област
2.2.1. Закъснение
. (109)
Ако , то
. (110)
2.2.2. Изпреварване
. (111)
Ако , то
. (112)
2.3. Начална стойност на оригинала
. (113)
2.4. Крайна стойност на оригинала
(114)
2.5. Изменение мащаба в областта
. (115)
2.6. Диференциране по втора независима променлива
. (116)
3. Таблица на Z - преобразуванието
Таблицата на Z-преобразуванието е табл. 1, приложена по-напред.


ФИЛТРАЦИЯ НА СИГНАЛИТЕ. АНАЛОГОВИ ФИЛТРИ

1. Филтрация
Във всяка една система за пренасяне на информация възникват смущения, които пречат за вярното предаване на информацията. Смущенията имат различен произход (дължат се на хаотичното движение на електрическите заряди в градивните елементи). Според математическото описание на сигнала и смущението, в системите се различават три вида смущения: адитивно и
мултипликативно . Най-често срещани са адитивните смущения. За отделяне на сигнала от смущението е необходимо да се извърши филтриране.
Филтрирането на сигналите е процес, при който определена част от спектралните съставки се пропуска с пренебрежимо малко затихване, а останалата част затихва максимално. Устройствата, с които се осъществява филтрирането се наричат филтри. Според областта на пропускане и областта на затихване, филтрите се делят на нискочестотни, високочестотни, лентови и режекторни. На фиг. 36 е показана амплитудно-честотната характеристика на идеален и реален нискочестотен филтър.





Фиг. 36

Съвременните филтри се реализират чрез активни елементи. Цифровите филтри се реализират чрез алгоритми, програми и апаратна част.

2. Аналогови филтри
При филтрацията на сигналите се търси възможно най-доброто решение – оптимална линейна филтрация. Критериите за оптималност са отношението сигнал/шум и средноквадратичната грешка. Т.е. задачите са:
2.1. Да се открие с максимална възможна вероятност сигнал с известна форма, като се използва за критерий отношението сигнал/шум. Търси се максимална стойност на критерия. Филтрите се наричат съгласувани.
2.2. Да се отдели по най-добър начин сигнал с неизвестна форма от шумовете при критерий средноквадратична грешка. Търси се минималната стойност на критерия.
Има филтри които не са в точния смисъл оптимални, но са близки по свойства до тях – квазиоптимални филтри.

2.1. Съгласувани филтри
На входа на филтъра, фиг. 37, постъпва сигнал с известна форма и шум с равномерен непрекъснат енергиен спектър. Фиг. 37

Изходният сигнал в момента се получава чрез обратното преобразувание на Фурие, като

(117)
Енергийният спектър на шума на изхода на филтъра е
. (118)
Дисперсията на сигнала е равна на корелационната му функция в нулата или е в сила равенството
. (119)
Следователно за отношението сигнал/шум може да се запише
. (120)
Изразът определя отношението сигнал/шум на линейния филтър, а за да бъде оптимален е необходимо . Следователно задачата е така да се определи Wопт(ω) на линейния филтър, че q = qmax. От неравенството на Коши-Буняковски следва, че равенството ще е в сила, само когато зависимостта между u(t) и v(t) е линейна, т.е. u(t) = a.v(t), следователно, за да се получи max в числителя е необходимо
, (121)
което условие се разпада на две части
– равенство на модулите и
– равенство на аргументите.
Следователно
(122)
. (123)
Тъй като
, то (124)
. (125)
Постоянният множител А показва, че оптималният коефициент на предаване на съгласувания филтър трябва да зависи от честотата подобно на спектралната функция на входния сигнал.
Множителят е от значение за фазовите съотношения. Той показва, че реакцията се забавя с време (от електротехниката следва, че филтърът трябва да съдържа реактивни елементи).
На фиг. 38 са показани спектралните съставки на един периодичен сигнал и енергийният спектър на шума N0. Ако има показаната форма, то използваният филтър е съгласуван. Филтърът пропуска спектралните съставки в участъците, където има сигнал. По този начин значителна част от мощността на шума се спира и се получава голямо отношение сигнал/шум.






Фиг. 38

Например, нека сигналът е правоъгълен импулс с продължителност , фиг.39, a шумът е бял шум с равномерен енергиен спектър N0. Фиг. 37
Според гореизложеното комплексният коефициент на предаване на съгласувания филтър е . Спектърът на входния сигнал е

.
Следователно
.

Функционалната схема на съгласувания филтър е показана на фиг. 40.








Фиг. 40

Квазиоптималните филтри имат характеристики, които са близки до характеристиките на оптималните филтри, но са сравнително по-прости по устройство. Например за горния случай квазиоптималният филтър, определен също по qизх, е показан на фиг. 41.





Фиг. 41

Може да се докаже, че отношението сигнал/шум на изхода на съгласувания филтър зависи единствено от енергията на сигнала Es, определена чрез равенството на Релей , и енергийният спектър на белия шум N0. Следователно може да се получи по-голяма стойност на qопт, като се увеличи енергията на сигнала (което може да стане, чрез увеличаване на неговата продължителност).

2. Оптимална филтрация при неизвестна форма на сигнала
Допусканията, които опростяват разглеждането: сигналът и смущението са некорелирани случайни процеси и на входа на филтъра действува , енергийните спектри са известни , т.е. известни са и . От практическа гледна точка това е оправдано, тъй като в повечето системи са известни сигналите и произхода на смущенията. В случай, когато формата на сигнала не е известна и смущението не е бял шум, оптималният филтър трябва да има такъв коефициент на предаване, че дисперсията на сигнала на грешката да е минимална.


Фиг. 42


Може да се докаже, че , т.е. при нарастване на отношението трябва коефициентът на предаване да намалява, т.е. необходимо е да се пропуска онази част от честотната лента , в която това отношение е малко, фиг. 42.





































Фиг. 43








КВАНТУВАНЕ НА ДИСКРЕТНИ СИГНАЛИ
1. Форми за представяне на числата
В системите за цифрова обработка на сигналите всеки отчет от постъпващата редица се квантува, т.е. представя се като число с краен брой ( ) разреди, като правило в двоична система за броене.
В повечето устройства за цифрова обработка на сигналите, които се реализират като специализирани устройства, се използува формата за представяне на двоичните числа с фиксирана запетая, като всички числа се нормират така, че по абсолютна стойност да са по-малки от единица.
Разредната мрежа, съдържаща двоични разреда (старшият разред е знаков), позволява да се представят различни по абсолютна стойност числа със стъпка в обхвата . Представянето на числото А във форма с плаваща запетая става съгласно израза , където е основата на системата за броене (например при двоичната система); - цяло число (порядъка на числото); - правилна дроб (мантиса).
В нормализираните числа старшият числов разред на мантисата е различен от нула. В разредната мрежа на числата с плаваща запетая разредите се използуват за определяне на порядъка и неговия знак, а разредите – за представяне на мантисата и нейния знак .
2. Кодиране на числата
Използуват се три основни метода за кодиране на числата А с фиксирана запетая
А= 0, a1, a2,…..ai …..ab,
където ai е числовият разред и може да приема стойности 0 или 1.
При кодирането в прав код - [А]пр - пред b – разредното двоично число се записва двоична цифра, с която се кодира знакът на числото - с 0 за положителните числа и с 1 за отрицателните числа
[А]пр = 0, a1, a2, …..ab, за A 0
1, a1, a2, …..ab, за A 0
Например числата А1 = +5/8 и А2 = -5/8 се представят с триразреден прав код (b=3) като [А1]пр=0,101 и [А]пр =1,101.
В обратен код – [А]обр - положителните дробни числа (А<1) се представят по същия начин, както и в прав код, а отрицателните дробни числа се изваждат от стойността на най-голямото b – разредно число, т.е. от числото, което съдържа във всичките си разреди единици. Това означава, че в знаковия разред на кода на отрицателното число се записва 1, а числовите разреди на правия код на изходното число се инвертират (т.е. 0 се заменя с 1 и обратно).
Например, обратният код на числото А2= -5/8 е [А2]обр =1,010
В допълнителен код положителните числа се представят както в прав код, а отрицателните – чрез изваждане на абсолютната им стойност от числото две -10,0000, т.е. в знаковия разред на кода на отрицателното число се записва 1, числовите разреди на правия код на изходното число се инвертират и към младшия разред се добавя 1.
Например, допълнителният код на числото А2= -5/8 e [А2]обр =1,011.
В модифицираните форми на обратния и на допълнителния код за представяне на знака на числата се отделят два разреда [А2]доп =11,011 и [А2]обр =11,010.
Правият, обратният и допълнителния код, а също и техните модифицирани форми могат да се използуват и за представяне на мантисите на числа с плаваща запетая.
3. Закръгляване и отсичане на числата
Ако числото x е m – разредно, квантуването на числото x се състои в представянето му като b - разредно число, където bПри квантуването се използуват операциите закръгляване и отсичане. Отсичането на числото представлява отхвърляне на m-b младши разреда в изходното число x. Грешката при въвеждане на отсичане е ey = Fy (x) - x . При положителни числа, независимо от начина на кодиране, грешката е в границите на -(2-b-2-m) ey 0 или
-2-b ey 0 при m >> b.

а – при допълнителен код ; б – при прав код ; в – при обратен код
Фиг. 44
При отрицателните числа стойността на грешката ey зависи от метода на кодиране. Например ако се използува прав или обратен код, в резултат на отсичането отрицателното число става по-малко по абсолютна стойност и грешката въведена от отсичането, е положителна 0 ey (2-b-2-m) 2-b
Отсичането на отрицателни числа в допълнителен код довежда до увеличаването им по абсолютна стойност и грешката от отсичането е отрицателна 0 ey -(-2-b-2-m) -2-b
На фиг. 44 са дадени съответните характеристики на операцията отсичане за допълнителен, прав и обратен код.
Както се вижда от дадените изрази, във всички случаи абсолютната стойност на грешката, въведена от операцията отсичане, не е по-голяма от стойността .
. (126)
При закръгляването на m-разредно число до b разреда, където b
ЦИФРОВИ ФИЛТРИ

Цифровият филтър е изчислително устройство, което обработва дискретизирания и кодиран сигнал по зададен алгоритъм. Цифровите филтри се реализират и със специални интегрални схеми. Обработката на сигнала се извършва с голяма точност.
Пример за цифров филтър







Фиг. 45








Фиг. 46

На фиг. 45 е показан аналогов филтър и реакцията му на единична стъпаловидна функция.
На фиг. 46 е показан цифров филтър и неговата преходна функция.
Диференчното уравнение, описващо зависимостта на изходния от входния сигнал за цифровия филтър на фиг. 46 е
. (127)

1. Нерекурсивни цифрови филтри
Тегловната функция на цифровия филтър е реакциятa ω(nT0), когато на входа му въздейства дискретната делта функция δ(nT0). Тегловната функция ω(nT0) може да се представи чрез тегловната функция на еквивалентния аналогов филтър ω(t) и като се използват филтриращите свойства на делта функцията
(128)
Следователно необходимата тегловна функция може да се синтезира съгласно функционалната схема на фиг. 47, където


..................
.













Фиг. 47

На изхода на филтъра се получава поредица от импулси, която е желаният изходен цифров сигнал при синтезирания по този начин цифров филтър.
Диференчното уравнение описващо нерекурсивните филтри е
. (129)
Прилагаме към (129) Z -преобразуванието . (130)
Предавателната функция на нерекурсивния филтър се получава като . (131)
Честотната характеристика на разглеждания филтър се получава като положим .
, фиг. 48.









Фиг. 48

Честотната характеристика на цифровия филтър има периодичен характер. Периодът е равен на интервала на дискретизация.
Предавателните функции на цифровите филтри са необходими при изследване на устойчивостта на цифровия филтър, за възможността да се реализира при зададени W(p) и W(z).
При нерекурсивните филтри изходният сигнал зависи от N–1 на брой отчети на входния сигнал. Той се отличава с простота на структурата и обработката на сигнала, но има някои недостатъци в сравнение с рекурсивните.

2. Рекурсивни цифрови филтри
При рекурсивните филтри изходният сигнал зависи от N–1 входни и M–1 изходни дискрети.
Диференчното уравнение, описващо рекурсивните филтри е
(132)
Функционалната схема, която представя алгоритъма на рекурсивния филтър е показана на фиг. 49.












Фиг. 49

Предавателната функция на рекурсивния филтър е
. (133)
По-горната схема може да се опрости, като се обединят закъснителните елементи.
Ако се означи с
, (134)
то . (135)
Първо може да се извърши рекурсивното филтриране на сигнала, определено чрез K(z), а след това нерекурсивното. В резултат на това може да се реализира каноничната схема, показана на фиг. 50.
За синтеза на цифровите филтри е необходимо представянето им с последователни и паралелни схеми. Те се основават върху разлагането на числителя и знаменателя на предавателната функция на филтъра на множители от вида
,















Фиг. 50

където са реални числа.
Като се групират по съответен начин множителите, предавателната функция на филтъра може да се представи като
W(z) = W1(z).W2(z)……Wn(z),
където W1(z), W2(z), Wn(z) са от вида
или
Поради това цифровият филтър от висок ред може да се синтезира чрез цифрови филтри от първи и втори ред, които да се свържат последователно, фиг.51а.
Ако W(z) се разложи на прости дроби, т.е. то събираемите Wi(z), които са предавателни функции на филтри от първи и втори ред, за получаване на W(z) трябва да се свържат паралелно, фиг. 51б.






а) б)
Фиг. 51
МОДУЛАЦИЯ

Сигналите използвани за пренасяне на информация обикновено са нискочестотни с малка амплитуда. За тяхното предаване е необходимо те да бъдат усилени и спектърът им да се пренесе в областта на високите честоти, без да се допуснат съществени изкривявания. Тези първични сигнали се наричат модулиращи и чрез тях се управлява някой от параметрите на високочестотното трептение. Високочестотното трептение може да се разпространява на големи разстояния при малки загуби на енергия и в областта на високите честоти се устройват повече канали за връзка. Честотата на носещото трептение обикновено е много по-голяма от честотата на управляващия сигнал (радиоразпръскване - f = 4500Hz на управляващия сигнал, а на носещото трептение е f = 150 kHz).
Модулацията е процес, при който параметрите на някакво високочестотно трептение се изменят в зависимост от даден управляващ сигнал. Устройствата, които го реализират се наричат модулатори, а полученият сигнал модулиран сигнал.
Модулираните сигнали и модулациите се класифицират, като се изхожда от параметрите на високочестотното (носещо) трептение и на управляващия сигнл.
Когато високочестотното трептение е хармонично , , то в зависимост от управляващия сигнал може да се измени амплитудата (АМ) или ъгълът (ЪМ). ЪМ при изменение на е честотна, а при изменение на – фазова.
Когато високочестотното трептение се състои от импулси, повтарящи се преиодично, най-често с правоъгълна форма, се реализира импулсна модулация. В зависимост от това, кой от параметрите на импулсите се изменя се различават следните видове импулсна модулация: АИМ, ШИМ, ЧИМ, ФИМ.
Голямо приложение има в съвременните системи за пренасяне на информация импулсно-кодовата модулация (ИКМ) - в цифровите системи.

1. Амплитудна модулация
АМ е проста и много разпространена, защото спектърът на сигнала е тесен и ограничен. Устойчивостта на АМ срещу смущения и нейните енергийни показатели са по-ниски в сравнение с другите видове модулации.
АМ сигнали се получават при изменениe на амплитудата на високочестотното трептение в зависимост от управляващия сигнал.
Високочестотното трептение е .
Управляващият сигнал е , където зависи от и изравнява размерностите и е функция, която описва изменението на управляващия сигнал.
За амплитудно модулирания сигнал се записва
, (136)
(137)
или в общ случай на формата на управляващия сигнал . (138)


Фиг. 52




Ако
то , (139)
където е коефициент на модулация или дълбочина на модулацията.
На фиг. 52 са показани носещото трептение, управляващият сигнал и амплитудно-модулираният сигнал.
За да няма нелинейни изкривявания е необходимо ( при предаване на говор, музика = 0,1 ÷ 0,3).
От модулираното трептение може да се получи управляващият сигнал – демодулация. Амплитудната модулация се реализира чрез нелинейни или параметрични вериги.

2. Ъглова модулация
Ъглова модулация - изменя се фазовият ъгъл на носещото трептение в зависимост от управляващия сигнал.
, (140)
където е честотата на носещото трептение;
– коефициентът на изравняване на размерностите;
– функцията, която описва изменението на управляващия сигнал.
Ъгловата модулация е по – устойчива на смущения.
Характерно за ЪМ е взаимната зависимост между фазата и моментната честота.
Векторната диаграма на две хармонични трептения е показана на фиг. 53. Описанието им е
,
като .
От фиг. 53 се вижда, че
. (141)
Следователно
. (142)









Фиг. 53

Ако изменението на честотата се опише с функция на времето , то при граничен преход може да се запише или . Следователно, честотната и фазовата модулация не могат да се реализират напълно самостоятелно.
Сигналите с честотна модулация се получават, когато честотата на носещото трептение се изменя в зависимост от управляващия сигнал.
Нека управляващият сигнал е
. (143)
Честотата на модулирания сигнал е
, (144)
където е честотата на модулирания сигнал;
– коефициентът за изравняване на размерностите;
– амплитудата на изменение на честотата (девиация на честотата).
Фазовият ъгъл на модулираното трептение е
. (145)
Следователно, изразът описващ сигнала с честотна модулация е
, (146)
където е индекс на честотната модулация, който зависи от честотата на управляващия сигнал.
На фиг.54 са показани носещото трептение, управляващият сигнал и модулираното трептение. На положителните нараствания на управляващия сигнал отговарят по-големи стойности на честотата и обратно.

Фиг. 54

Сигналите с фазова модулация се получават при изменение на фазата на носещото трептение в зависимост от управляващия сигнал.
Сигналът с фазова модулация се описва със зависимостта
, (147)
където има значение на амплитуда на изменение на фазовия ъгъл и се нарича индекс на фазовата модулация.
Разликата между (146) и (147) е в и в скобите и в индексите на модулацията. Индексът на фазовата модулация не зависи от честотата. На фиг. 55 са показани управляващият сигнал, с плътна линия е означено носещото трептение, а с прекъсната линия – модулираното трептение. При положителни стойности на управляващия сигнал модулираното трептение изпреварва носещото, а при отрицателни стойности на управляващия сигнал, модулираното трептение изостава спрямо носещото. Наблюдава се сгъстяване и разреждане на графиката с прекъсната линия, а това означава, че фазовата модулция се съпровожда с честотна модулация. Обратното също е вярно.

Фиг. 55


3. Импулсна модулация
Значително приложение, но в последно време отстъпва на цифровата модулация.
Носещото трептение е поредица от правоъгълни импулси.
На фиг.56 са показани управляващият сигнал и носещото трептение. Параметрите на носещото трептение са амплитуда , – периодът на повторение на импулсите и – продължителността (широчината) на импулсите. При определяне на периода на повторение на импулсите се изхожда от теоремата на Котелников , където е горната гранична честота на управляващия сигнал.
Според това, кой от параметрите на импулсната поредица се изменя в зависимост от управляващия сигнал, се различават амплитудно-импулсна модулация (АИМ) - изменя се амплитудата на импулсите в зависимост от управляващия сигнал, широчинно-импулсна модулация (ШИМ) - изменя се широчината на импулсите в зависимост от управляващия сигнал ( има две разновидности: едностранно ШИМ – единият от фронтовете се изменя, а другият не изменя положението си, поради това се изменя и фазата на импулсите в зависимост от управляващия сигнал; двата фронта се изменят симетрично в зависимост от управляващия сигнал и честотно-импулсна модулация (ЧИМ) - изменя се честотата на повторение на импулсите в зависимост от управляващия сигнал, фиг.56.

Фиг. 56

4. Цифрова модулация
Предимството на цифровата модулация е устойчивостта срещу смущения (добро различаване на кодовите символи и комбинации).
Разглежда се пренасяне на аналогов сигнал (изменение на температурата или други физически величини). Аналоговият сигнал се дискретизира, фиг. 57а), като ( е горната гранична честота на сигнала и е много по-голяма от долната, например за схемите в звукотехниката - долната гранична честота е 10 Hz, а горната от 5 до 16 kHz и повече). С определена точност се отчитат стойностите на дискретите. Определя се и броят на кодовите комбинации, като , където е интервалът на дискретизация по ниво. За да може да се предават квантованите сигнали е необходимо така да се определят символите в една кодова комбинация, че да се спази условието
. (148)
На фиг. 50б) е показан квантованият сигнал по ниво и време, а на фиг. 57в) са показани кодовите комбинации, които съответстват на дискретните стойности на квантования сигнал. Това е сигналът с цифрова модулация.



Фиг. 57




МОДЕЛИРАНЕ. МЕТОДИ НА МОДЕЛИРАНЕ

1. Моделиране
Една от най-важните задачи, стоящи пред изследователите е построяването на модели на изучаваните обекти. За тази цел се използва методът на моделирането. Основно понятие при моделирането е понятието „модел”. Под модел се разбира някаква опростена система, имаща материално - веществен или абстрактен характер, която отразява само отделни, но важни свойства на изучавания обект, наричан „оригинал”.
Съществуват няколко вида моделиране, които могат да се групират в две основни групи:
- материално - веществено моделиране - моделът е реализиран като материален обект (опитна уредба, устройство, машина и т.н.);
- абстрактно - логическо моделиране - моделите се представят чрез средствата на математиката.

2. Методи на моделиране
а) физическо моделиране - моделите възпроизвеждат изучаваното явление в натура, като се запазва неговата физическа природа. За тази цел се използват специално построени физически модели на които се провеждат експериментите. Степента и характерът на подобие между модела и оригинала се осъществява чрез т.нар. критерии на подобие. Необходимите и достатъчни условия за подобие на модел и оригинал се основават на теоремите на подобие.
Теорема 1. Моделът и оригиналът са подобни, ако стойностите на критериите за подобие между модела и оригинала са равни.
Теорема 2. Функционалните зависимости между характерните за процеса физични величини могат да се представят като зависимости между съответните критерии на подобие. Следователно резултатите от единичните експерименти могат да се обобщят за цял клас от подобни физични процеси.
Теорема 3. Определяне НДУ за подобието, т.е. определяне кога е възможно резултатите от единични експерименти, проведени върху модела, да се разпространят върху оригинала.
б) математично моделиране - моделите се строят със средствата на математиката и представляват отделни уравнения или системи уравнения (алгебрични, диференциални, интегрални и др.). Съществуват две групи методи за построяване на математични модели - аналитични и експериментални.
При аналитичните методи моделът се построява чрез законите описващи процесите в изучавания обект. Правят се редица допускания, чрез които се отчита относителната важност на величините, определящи изучавания обект. Някои коефициенти и зависимости се получават по експериментален път. Математичният модел се проверява за адекватност чрез специално поставени експерименти и с помощта на специални числени критерии. Етапите при построяване на математични модели чрез аналитични методи са показани на фиг. 58.
Етапите при построяване на математични модели по експериментален път са показани на фиг. 59.
Моделите, построени по тази схема са валидни само за условията, при които са построени опитите.
В основата на експерименталните методи за математическо моделиране лежи т.нар. принцип на „черната кутия” .
в) аналогово моделиране- основано на формалното сходство на уравненията (описващи изследвания процес) с тези на някои специални типове електрически вериги.
г) имитационно моделиране- моделът е реализиран във вид на блок - схеми и програми и с негова помощ се имитира поведението на системата чрез компютри.

3. Принцип на „черната кутия”
Обектът на изследването се представа формално като затворена част от околната среда - черна кутия, в която протичат неизвестни за изследователя



Фиг. 58




Фиг. 59

процеси. Обектът взаимодейства с околната среда чрез редица входни въздействия –фактори и множество изходни параметри - реакции, определящи неговото функциониране и състояние. На основата на експериментална информация за входните фактори и изходните параметри се получава достатъчно пълна информация за обекта без да се познава вътрешната му структура. Чрез тази информация се построява моделът, обвързващ входните фактори и изходните параметри. Факторите имат различна природа и се разделят на управляеми и неуправляеми.



Фиг. 60

Управляемите фактори =(x1,x2,….xm) са тези, които изследователят може да изменя в определени граници и да ги поддържа на дадено ниво по свое желание. Неуправляемите фактори се делят на контролируеми и неконтролируеми - случайни. Контролируемите неуправляеми фактори =(z1,z2,…zq) са тези, които могат да се измерват, но не могат да се управляват. Ако факторът zi не може да се измерва или ако методите за измерването му са много сложни и скъпи, той се отнася към групата на случайните фактори.
Случайните фактори могат да имат различна физична природа и различен начин на въздействие върху обекта. Такива фактори например са измененията на натоварванията на енергосистемите, свойствата на различните суровини, материали и др.
Факторите могат да се класифицират и според това дали те се оценяват количествено - могат да се измерват, или се характеризират качествено - не могат да се измерват - вид на инструменти, тип на технологиите и др.
Изходните параметри Y=(y1,y2,…yp) са величини, характеризиращи поведението на обекта - отклици. При статичните обекти изходните параметри се разглеждат като постоянни във времето величини - детерминирани или случайни, а при динамични обекти - като функции на времето - детерминирани или случайни.
Предпоставките при които се построява даден математичен модел са:
- отчитат се най-съществените управляеми и контролируеми фактори, въздействащи на обекта - не повече от 10-15. Всички останали се причисляват към случайните.
- влиянието на всички случайни фактори е еквивалентно на влиянието на една единствена случайна величина с известни вероятностни характеристики.
В зависимост от вида на обекта има следните схеми за провеждане на експеримента:
- активен експеримент - изследването се провежда чрез целенасочено изменение на факторите, т.е. налице е активна намеса на изследователя в състоянието на обекта;
- пасивен експеримент - без активната намеса на изследователя;
- активно-пасивен експеримент.

РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ НА НЕПРЕКЪСНАТИ И ДИСКРЕТНИ СЛУЧАЙНИ ВЕЛИЧИНИ. КОРЕЛАЦИЯ МЕЖДУ СЛУЧАЙНИ ВЕЛИЧИНИ. СТАЦИОНАРНИ СЛУЧАЙНИ ПРОЦЕСИ

При наличието на неуправляеми фактори върху обекта на изследване, параметърът има вероятностен характер. В много инженерни изследвания параметрите са случайни величини – някои дискретни, а други непрекъснати случайни величини.
Пълното описание на дадена случайна величина е чрез нейния закон на разпределение. Законът на разпределение е статистически модел, описващ вероятностните свойства на изучаваните параметри. Съществуват две форми на задаване на закона на разпределение. Първата при дискретните случайни величини е редът на разпределение, а при непрекъснатите – плътността на разпределение. Втората, както при дискретните, така и при непрекъснатите е функцията на разпределение.




I. Разпределения на непрекъснати случайни величини
1. Нормално (Гаусово) разпределение
Плътността на това разпределение се задава чрез израза
, (149)
където и са параметрите на разпределението, като
- средната стойност на случайната величина ;
- дисперсията на случайната величина .
Функцията на разпределение на нормалния закон се дава с израза
, (150)
като при и се получава т. нар. нормиран нормален закон с функция на разпределение
. (151)
С помощта на полагането и функцията сравнително лесно се пресмята вероятността за попадане на случайната величина в интервала , като
. (152)
За функцията съществуват готови таблици, чрез които бързо и лесно се определят търсените вероятности.
Видът на нормалния закон на разпределение е показан на фиг. 61.
Нормалният закон на разпределение е широко разпространен в практиката.















Фиг. 61

2. Логаритмично-нормален закон на разпределение
Случайната величина има логаритмично-нормален закон на резпределение, ако нейният логаритъм е разпределен по нормален закон.
Плътността на разпределение на логаритмично-нормалния закон е
, . (153)














Фиг. 62

Формата на зависи от стойностите на параметрите и . С намаляването на логаритмично-нормалният закон на разпределение се приближава до нормалния.
Основните числени характеристики и са сложни нелинейни функции на параметрите и и могат да се вземат от справочници.
Определянето на вероятността за попадане на случайната величина в интервала е по
, (154)
където е функцията на разпределение на нормирания нормалeн закон.
Логаритмично-нормалният закон на разпределение се използва за описване на безотказната работа на системите.

II. Разпределения на дискретни случайни величини
1. Разпределение на Поасон
Разпределението на Поасон описва вероятността за появяване точно пъти на едно и също случайно събитие А в продължение на даден интервал от време при условие, че отделните появявания на А са независими едно от друго и са с постоянна интензивност .
Редът на разпределение на се дава с формулата
, (155)
където е вероятността за точно появявания на събитието А в отделен опит.
Параметрите на разпределението са
и
.
С нарастване на разпределението на Поасон клони към нормалното разпределение.
Видът на реда на разпределение на Поасон е показан на фиг. 63.











Фиг. 63

3. Разпределение на Бернули (биномиално разпределение)
Разпределението на Бернули дава вероятността за появата на дадено случайно събитие А точно пъти при независими опита, когато вероятността за появяване на събитието А във всеки отделен опит е една и съща.
Редът на разпределение на случайната величина определя броя на появяване на събитието А в независими опита. Задава се с формулата
, , (156)
където е вероятността за появяване на А в отделния опит;
- комбинация на елемента от -ти клас.
Параметрите на разпределението са
и
.
Широко разпространение има този закон в статистическия контрол на качеството на продукцията.

III. Корелация между случайни величини
В повечето случаи при изследванията получените резултати се описват не с една, а с две или повече случайни величини. Две непрекъснати случайни величини и се описват с тяхната съвместна функция на разпределение . Необходимото и достатъчно условие за независимост на случайните величини и е
. (157)
Проверката на горното условие изисква голям брой опити. Поради това се използва числената характеристика корелационен момент или ковариация, която се определя като
. (158)
При система от непрекъснати случайни величини корелационният момент се определя като
(159)
При независимост на и за корелационния момент се получава 0. Корелационният момент характеризира разсейването на системата от случайни величини.
Връзката между две случайни велечини се определя с коефициента на корелация
(160)
Ако , то двете случайни величини са некорелирани. Свойствата некорелираност и независимост съвпадат само ако и имат съвместно нормално разпределение.
Коефициентът на корелация . При тази връзка е линейна функционална, като при корелацията е положителна, а при корелацията е отрицателна.

IV. Стационарни случайни функции
Случайна функция се нарича безкрайна съвкупност от случайни величини, които зависят от една или повече независими променливи. В случай, че аргументът е времето, случайната функция се нарича случаен процес.
Случайният процес е стационарен, ако неговото математическо очакване не зависи от времето, а корелационната му функция зависи само от разликата на двата аргумента и .
Ако за стационарните процеси се получават достоверни и точни оценки на вероятностните им характеристики само на основата на информацията съдържаща се в една единствена реализация на процеса с достатъчно голяма продължителност, то процесите са ергодични.
Основните характеристики, които напълно определят свойствата на един стационарен случаен процес с нормално разпределение са средната стойност , дисперсията и корелационната функция . Корелационната функция се определя като

, (161)
където е периодът на наблюдение на реализацията ;
- интервалът от време между две съседни ординати на ;
Числените характеристики и определят съответно центъра на групиране на ординатите на реализацията и разсейването на тези ординати относно центъра.
Корелационната характеристика определя характера на протичане на процеса.

ПЪРВИЧНА СТАТИСТИЧЕСКА ОБРАБОТКА НА ОПИТНИ ДАННИ
По опитните данни се пресмятат оценките на основните числени характеристики. Оценките са доброкачествени, ако удовлетворяват следните изисквания:
- оценката да е неизместена – средната стойност на оценката да е равна на оценяваната характеристика
; (162)
- оценката да е състоятелна – при увеличаване на броя на опитите, оценката да е сходима по вероятност към оценяваната характеристика
(163)
- оценката да е ефективна – нейната дисперсия да е най-малка в сравнение с дисперсиите на всички други възможни оценки на съответната характеристика .

ТОЧКОВИ ОЦЕНКИ НА ОПИТНИ ДАННИ

1. Средна стойност (математическо очакване) - заменя се с оценката наричана средноаритметична стойност
. (164)
Ако е нормално разпределена, то удовлетворява всички свойства на доброкачествените оценки.
Ако има известен процент рязко отличаващи се стойности, груби грешки, то се използва т. нар. отрязана средноаритметична стойност
, (165)
където са подредени във възходящ ред;
- коефициентът, определящ предполагаемия дял на рязко отличаващите се наблюдения, ;
- цялата част на числото .

2. Дисперсия - характеризира разсейването на случайната величина от центъра на групиране на нейните стойности.
Коригираната дисперсия се определя като
. (166)
Тази оценка е неизместена и състоятелна, а при нормално разпределение и ефективна.
Средноквадратичното отклонение се определя като
. (167)
Коефициентът на вариация, определен като
, (168)
се използва за описване на степента на разсейване чрез относителна мярка на разсейването. Използва се при сравняване на разсейването на две и повече съвкупности, които имат различни средни стойности.

ИНТЕРВАЛНИ ОЦЕНКИ НА НЯКОИ ЧИСЛЕНИ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Точковите оценки не съдържат информация за близостта им до неизвестната теоретична характеристика.
Оценката ще е толкова по-точна, колкото по-малка е разликата , т.е. , (169)
като е някакво малко число, което характеризира точността на . Точно определяне на неравенството (169) е невъзможно. Може да се твърди, че неравенството (169) се удовлетворява с някаква вероятност , т. е.
. (170)
Равенството (170) определя вероятността интервалът да включва в себе си неизвестната характеристика .
Интервалът се нарича доверителен интервал, а вероятността - доверителна вероятност. Доверителната вероятност може да заема стойност 0,9; 0,95; 0,99; 0,999.
Доверителният интервал покрива характеристиката с вероятност .

1. Граници на доверителния интервал на средната стойност
При пресмятане на границите на доверителния интервал на средната стойност се използва стойността на разпределената по закона на Стюдънт случайна величина Т (определя се от таблици). Стойността на зависи от доверителната вероятност и степените на свобода .
Следователно, с помощта на разпределението на Стюдънт се определят границите на доверителния интервал, който с вероятност ще покрие неизвестната стойност като
. (171)
Максималната абсолютна грешка, която се допуска при замяната на с и която е гарантирана с вероятност е
. (172)
Максималната относителна грешка на се пресмята като
. (173)

2. Граници на доверителния интервал на дисперсията
При пресмятане на границите на доверителния интервал на дисперсията се използва стойността на случайната величина
, (174)
която се определя от условието
. (175)
Стойностите на в зависимост от и се вземат от таблици.
При нормално разпределение на случайната величина границите на доверителния интервал на дисперсията се определят с израза
, (176)
където и се определят от таблици съответно при и ,
.
Границитe на доверителния интервал на средноквадратичното отклонение се определят като
, (177)
където в зависимост от и се вземат от таблици.

3. Оценка на коефициента на корелация
. (178)
4. Оценка на корелационната функция
, (179)
където ;
- максималният брой ординати на корелационната функция;
- временният интервал между две съседни ординати.

ПРОВЕРКА НА СТАТИСТИЧЕСКИ ХИПОТЕЗИ ЗА ЗАКОНА НА РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ

Определени предположения, отнасящи се до закона на разпределение или числените характеристики на изучаваните случайни величини се наричат статистически хипотези. Проверяваната хипотеза се нарича нулева . Алтернативната хипотеза е . Хипотезите се проверяват чрез статистически
критерии. Стойностите на статистическия критерий при които се отхвърля образуват критичната област, а стойностите за които се приема – допустимата област. Точката, която разделя двете области се нарича критична стойност на критерия . Тази стойност се определя от плътността на разпределение на критерия и от условието вероятността за попадане на критерия в критичната област при вярна да е близка до нула. Вероятността се нарича равнище на значимост и се избира една от стойностите 0,1; 0,05; 0,01; 0,001.














a) б)
Фиг. 64

Видът на критичната област зависи от твърдението на алтернативната хипотеза . На фиг. 64 са показани едностранни, фиг. 64а), и двустранни, фиг.64б), критични области на статистическите критерии.
Общото правило за проверка на статистически хипотези е: ако изчислената стойност на критерия принадлежи на критичната област, хипотезата се отхвърля, в противен случай не се отхвърля.
При проверката на се допускат два вида грешки. Грешката от първи род се състои в неправилно отхвърляне на хипотезата и има вероятност . Грешката от втори род се състои в неправилно приемане на хипотезата . Вероятността за грешка от втори род се означава с .
Следователно, проверката на статистически хипотези е свързана с избора на , и (обем на извадката). Тези три величини са взаимно свързани, двете от тях могат да се зададат произволно, а третата се определя чрез тях. Например, ако искаме и да имат малки стойности, трябва да определим обема на извадката чрез тях. На практика се задава и се търси обем на извадката , при който да има неголяма стойност, .
Нека са данните от извадката. Необходимо е да се обоснове закона на разпределение.
Означава се с функцията на разпределение на предполагаемия закон. Тогава хипотезата е
.
Проверката на хипотезата е чрез критерия (критерий на Пирсон). Проверката се извършва в последователността
1. Групиране на данните по групи, класове.
2. Определяне на теоретичните честоти
(180)
където е вероятността за попадане на случайната величина в -тия клас.
Вероятността се определя в съответствие с предполагаемия закон на разпределение. При пресмятане на и се приема лявата граница на първия клас и дясната граница на последния клас да бъдат равни на теоретично възможните крайни стойности на случайната величина . Например, и при нормалния закон.
Критерият изисква теоретичните честоти да бъдат по-големи от 5. Ако в някои от класовете това условие е нарушено, то те се присъединяват към съседните класове, като броят на класовете става , където е броят на присъединените класове.


3. Пресмята се критерия
, (181)
където са абсолютните емпирични честоти.
Критерият има разпределение „ -квадрат” със степени на свобода , където е броят на определените чрез опитните данни оценки на параметрите на закона.
Ако , то нулевата хипотеза се отхвърля като противоречаща на опитните данни.
Ако , то нулевата хипотеза не се отхвърля като противоречаща на опитните данни.

ПРОВЕРКА НА СТАТИСТИЧЕСКИ ХИПОТЕЗИ ЗА СРЕДНАТА СТОЙНОСТ И ЗА ДИСПЕРСИЯТА

1. Проверка на хипотезата за средната стойност
Опитните стойности на случайната величина са разпределени по нормален закон с неизвестна средна стойност . Относно дисперсията са възможни два случая - е известна и не е известна.
Нулевата хипотеза е
,
където е зададена от нас величина.
Алтернативната хипотеза е
.
а) дисперсията е известна. В този случай критерият е
. (182)
При вярна нулева хипотеза, величината има нормално разпределение. Критичната област на критерия е двустранна и се определя от условието
. (183)
Ако , се отхвърля. в зависимост от се избира от таблици съгласно равенството .
б) дисперсията не е известна. В този случай критерият е
, (184)
където .
При вярна нулева хипотеза, величината има разпределение на Стюдънт с степени на свобода. Критичната област на критерия е двустранна и се определя от условието
.
Критичната стойност в зависимост от и се избира от таблици при , т. е. и двустранно ограничение.
Ако , се отхвърля, а при тя не противоречи на опитните данни.

2. Проверка на хипотезата за дисперсията
Нулевата хипотеза е
.
Предполага се, че е известна константа. Проверката се извършва с критерия
. (186)
При вярна нулева хипотеза, величината има - разпределение със степени на свобода . Обикновено алтернативната хипотеза в случая е
,
Поради което критичната област е едностранна и се определя от условието . Критичните стойности се вземат от таблици.

3. Проверка на хипотези за равенство на две и повече дисперсии
Извадките са с елементи и .
Трябва да се провери хипотезата
.
Проверката се извършва с критерия
, при . (187)
При нормално разпределение на случайните величини и и при вярна нулева хипотеза F има разпределение на Фишер, с параметри и , които са равни на броя на степените на свобода съответно на и .
Критичната област е едностранна, определена от условието
, (188)
като критичната стойност в зависимост от , и се взема от таблици.
При хипотезата се отхвърля, а при хипотезата не се отхвърля.
Ако трябва да се провери хипотезата за равенство на повече от две дисперсии се използват -критерият на Бартлет, при различни обеми на извадките, и -критерият на Кохрен при еднакви обеми на извадките.

Нулевата хипотеза е
.
Пресмятането на - критерия е по формулите
, (189)
където ;
;
;
са коригираните дисперсии на отделните извадки.
При , величината има разпределение близко до разпределението със степени на свобода . Нулевата хипотеза се отхвърля, ако .
Пресмятането на критерия е по формулата
, (190)
където е максималната дисперсия сред реда от коригирани дисперсии.
Критичните стойности се вземат от таблици.











МОДЕЛИ ЗА ОПИСАНИЕ НА ЕДНОФАКТОРНИ ОБЕКТИ

1. Модели на еднофакторни обекти
При еднофакторните обекти на входа на управляемия обект действа само един управляем фактор и влиянието на неуправляемите фактори е заменено еквивалентно със случайната грешка . Изходната величина е
,
където е неизвестна функция на , фиг. 65.







Фиг. 65

Необходимо е да се построи подходящ емпиричен модел, описващ поведението на обекта. За целта е необходимо:
- да се проведе експеримент за събиране на опитни данни;
- да се избере вида на модела ;
- да се определят коефициентите на модела;
- да се провери адекватността на модела.
Построяването на емпиричните модели се налага и когато таблично са зададени стойностите на аргумента и на зависимата променлива и е необходимо да се определи за стойности на , невключени в таблицата. Това са задачи за интерполиране и екстраполиране на опитни данни.
Общият вид на емпиричния модел е
, (191)



Възможни са следните случаи:
- зависимата променлива напълно се определя от стойностите на , т. е. . Такъв тип зависимости има при задачите за апроксимиране на таблични данни с цел интерполиране или екстраполиране.
- факторът не е случайна величина, а е случайна величина, поради наличието на съществени случайни грешки. Предполага се, че .
Емпиричният модел има вида
, (192)
където е условното математическо очакване на .
- величините и са случайни. В този случай се търсят зависимостите
(193)
,
където и са съответно условното математическо очакване на и условното математическо очакване на . Оценяването на връзката между и се извършва с коефициента на корелация.
Еднофакторните емпирични модели се разделят на:
- модели, които са линейни относно параметрите (коефициентите) и относно фактора
. (194)
- модели, които са линейни относно параметрите и нелинейни относно фактора
; (195)
(196)
. (197)
С помощта на подходящо нелинейно преобразувание на фактора нелинейните модели могат да се сведат до линейни модели относно новия аргумент.


- модели, които са нелинейни относно параметрите
Част от тези модели могат да се сведат чрез подходящи нелинейни преобразувания на и до линейни модели, т. е. могат да бъдат линеаризирани.

2. Оценяване на параметрите на еднофакторни емпирични модели
Нека емпиричният модел има вида
(198)
при и неслучайни величини и
(199)
при случайна и неслучайна величина.
Един от начините за определяне на търсените оценки на коефициентите е чрез метода на най-малките квадрати. Според този метод, описва най-добре опитните данни, ако сумата от квадратите на отклоненията има най-малка стойност
, (200)
където е стойността на или на при .
Търсените оценки на параметрите се определят от системата уравнения
. (201)
Системата уравнения се решава лесно при линейна функция относно параметрите и има единствено решение при ( - броят на опитите) и неизродена матрица от коефициентите .
Ако зависимата променлива е случайна величина, при оценяване на параметрите на модела са възможни следните случаи: опитите се провеждат без повторения; опитите се провеждат с един и същ брой повторения за всяка стойност на ; опитите се провеждат с различен брой повторения. При провеждане на опитите без повторения оценките на параметрите става по (201). При еднакъв брой повторения, оценките на параметрите е по
, (202)
където е средноаритметичната стойност на в -тия опит.
При различен брой повторения в отделните опити, формула (202) има вида
, (203)
където чрез теглата при по-голяма стойност на се отчита по-големия принос на средноаритметичните стойности, определени чрез по-голям брой наблюдения.
При използване на (202) и (203) е необходимо да е изпълнено условието за еднаквост на дисперсията на в отделните опити.
Съществуват много програмни продукти чрез които може да бъде получен емпиричния модел.

3. Адекватност на модела
3.1. Когато и не са случайни величини критерий за пригодността на емпиричната формула е величината
(204)
където е опитната стойност на при ;
- предсказаната стойност на при , определена по емпиричната формула;
- броят на емпиричните формули.
Избира се емпиричната формула за която има най-малка стойност при еднакъв брой на коефициентите в емпиричните формули.



Целесъобразно е да се определи и относителната грешка на емпиричната формула
(205)
Пресметнатата относителна грешка трябва да бъде по-малка от зададената относителна грешка.
3.2. Когато зависимата променлива е случайна величина
- експеримент без паралелни опити
Определя се разсейването на показателя спрямо средноаритметичната стойност
. (206)
За възможно най-простия модел се определя т. нар. остатъчна дисперсия
, (207)
където е предсказаната стойност по модела за -тия опит;
- брой на коефициентите на модела.
Пресмята се критерия
, (208)
който при отсъствие на влияние на факторите , , има F разпределение със степени на свобода и .
Ако влиянието на факторите , , е съизмеримо с влиянието на случайните фактори.
При емпиричният модел е адекватен.За да има моделът добри предсказващи свойства трябва да превишава поне 4 пъти критичната стойност . В този случай се преминава към по-сложен модел, например от втора степен, пресмята се остатъчната дисперсия по (207), като се заменя с (броят на коефициентите в новия модел) и критерия
, (209)
със степени на свобода и .
Ако , то проверяваният по-сложен модел не описва по-добре процеса от линейния модел.
Ако може по същия начин да се направи проверка с по-сложен модел.
- експеримент с паралелни опити
За проверка на адекватността на модела е необходимо да се пресметнат оценките на дисперсията на адекватност и дисперсията на възпроизводимост.
Дисперсията на адекватност се определя по формулата
, (210)
където е броят на повторенията на -тия опит;
- средноаритметичната стойност на в -тия опит;
- предсказаната стойност по модела за -тия опит;
- брой на коефициентите на модела.
При определяне на дисперсията на възпроизводимост, първо се проверява хипотезата за еднородност на реда от коригираните дисперсии ,пресметнати за всеки опит по формулата
, (211)
За проверка на хипотезата може да се използва критерия на Бартлет при или критерия на Кохрен при , .
Дисперсията на възпроизводимост се определя по формулата
. (212)
За проверка на адекватността на модела се изчислява F-критерия на Фишер
, (213)
със степени на свобода и .
При моделът е неадекватен.
При моделът се счита за подходящ.


МОДЕЛИ ЗА ОПИСАНИЕ НА МНОГОФАКТОРНИ ОБЕКТИ

1. Модели на многофакторни обекти
При многофакторните обекти на входа на управляемия обект действат факторите и влиянието на случайните и неотчетени фактори е заменено еквивалентно със случайната грешка . Изходната величина е
, (214)
където е неизвестна функция на факторите, фиг. 66.








Фиг. 66



Както при еднофакторните изследвания, така и тук целта е да се построи подходящ емпиричен модел, описващ опитните данни.
Когато факторите са количествени най-често се използват моделите на регресионния анализ, които биват линейни относно факторите и относно параметрите
(215)
и линейни относно параметрите, но нелинейни относно факторите
. (216)
Нелинейните относно параметрите модели се делят на линеаризуеми, чрез подходящи нелинейни преобразувания могат да се сведат до линейни, и нелинеаризуеми.
Когато факторите са качествени най-често се използват моделите на многофакторния дисперсионен анализ. Например двуфакторен модел с качествени фактори и има вида (217)
,
където е стойността на показателя при -тото повторение на опита, при - тото ниво на фактора и -тото ниво на фактора ;
- общата средна стойност;
- ефектът от - тото ниво на фактора ;
- ефектът от -тото ниво на фактора ;
- случайната грешка на стойността на показателя .
Задачата на регресионния анализ е по експерименталните данни да се получи модел от вида
. (218)
Основни предпоставки свързани с вероятностните свойства на случайната грешка и със свойствата на факторите:
- за всеки един опит случайната грешка е случайна величина със средна стойност и постоянна дисперсия ;
- случайните грешки в отделните опити са некорелирани случайни величини;
- случайната грешка се описва с нормален закон на разпределение с параметри и ;
- факторите се измерват с пренебрежимо малки грешки в сравнение със случайната грешка ;
- факторите или известните функции трябва да бъдат линейнo независими, т. е.
(219)
за кои да е ненулеви константи и .
Регресионните уравнения се строят при условие, че броят на опитите е по-голям или равен на броя на коефициентите, т. е. .
Основен метод за намиране на оценките на регресионните коефициенти е методът на най-малките квадрати, който бе разгледан при еднофакторните модели.
След получаване на регресионното уравнение то трябва да се оцени неговата точност, адекватност и работоспособност.

2. Проверка за значимостта на регресионните коефициенти
Проверката за значимост на регресионните коефициенти се прави с F -критерия. От получения модел (218) се отстранява променливата и отново се изчисляват всичките коефициенти. За пълния и непълния модел се определят остатъчните суми от квадрати
, (220)
, (221)
където е действително наблюдаваната стойност на ;
- -тата предсказана стойност на по модела, включващ всички коефициенти;
- -тата предсказана стойност на по модела от който е отстранена променливата .
Критерият, отнасящ се до коефициента е
, (222)
където е броят на коефициентите на пълния модел.
Критичната стойност на критерия е със степени на свобода и . Ако , то коефициентът е несъществен и може да се махне от уравнението на регресия.

3. Проверка на адекватността на регресионния модел
Проверката на адекватността на регресионния модел се извършва както при еднофакторните модели.

4. Анализ на работоспособността на регресионния модел
Чрез този анализ се определя възможността за използване на регресионния модел за предсказване и прогнозиране, за управление на обекти или за оптимизиране. Едновременно с това се проверяват и отделните предпоставки на регресионния анализ. За целта се използва анализът на остатъците. Изследването на остатъците се прилага при .
Остатъците се определят като
, . (223)
Анализът на остатъците може да се проведе в две форми – графична и аналитична. При графичната форма се строят графиките на остатъците в зависимост



Фиг. 67

от времето на провеждане на опита, на остатъците в зависимост от предсказаните стойности на и в зависимост от факторите , нормални вероятностни графики и др. Чрез построените графики се търсят причините за недобрата работоспособност
на модела. Например, търсят се „рязко отличаващи се, аномални” наблюдения, временен тренд на някои от факторите или на , неадекватност на модела, нееднородност на дисперсията , отклонения от нормалното разпределение и др. На фиг. 67 са показани графики на . На фиг. 67а) е показана графиката за адекватен модел, а на фиг. 67б) графиката за неадекватен модел. Ако не е изпълнена предпоставката за еднородност на дисперсията графиката има вида като на фиг. 68в). На фиг. 68г) са показани аномални остатъци рязко отличаващи се от останалите.